Comment construire et utiliser le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

Construire le projeté orthogonal d'un point sur une droite

L'objectif

Construire et exploiter le projeté orthogonal d'un point sur une droite pour calculer une distance ou résoudre un problème de géométrie.

Le principe

Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\Delta$ est le pied de la perpendiculaire abaissée de $M$ sur $\Delta$ ; il est l'unique point de $\Delta$ tel que $MH \perp \Delta$ , et il minimise la distance de $M$ à tout point de $\Delta$ .

La méthode

1
Identifier le point $M$ et la droite $\Delta$ sur lesquels porte la question.
2
Tracer la perpendiculaire à $\Delta$ passant par $M$ (à l'équerre ou par calcul avec les vecteurs directeurs).
3
Nommer $H$ le point d'intersection de cette perpendiculaire avec $\Delta$ : $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\Delta$ .
4
Utiliser les propriétés de $H$ : $MH$ est la distance de $M$ à $\Delta$ (la plus courte), et tout calcul sur le triangle $MHA$ (avec $A \in \Delta$ ) peut exploiter l'angle droit en $H$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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