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Comment construire et utiliser le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

Construire le projeté orthogonal d'un point sur une droite

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$ , $AB = 10 \,\mathrm{cm}$ , $BC = 6 \,\mathrm{cm}$ . Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $[AB]$ . Calculer $CH$ .

La méthode

1
Identifier le point $M$ et la droite $\Delta$ sur lesquels porte la question.
2
Tracer la perpendiculaire à $\Delta$ passant par $M$ (à l'équerre ou par calcul avec les vecteurs directeurs).
3
Nommer $H$ le point d'intersection de cette perpendiculaire avec $\Delta$ : $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\Delta$ .
4
Utiliser les propriétés de $H$ : $MH$ est la distance de $M$ à $\Delta$ (la plus courte), et tout calcul sur le triangle $MHA$ (avec $A \in \Delta$ ) peut exploiter l'angle droit en $H$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$ , $AB = 10 \,\mathrm{cm}$ , $BC = 6 \,\mathrm{cm}$ . Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $[AB]$ . Calculer $CH$ .

Le point est $C$ et la droite est $(AB)$ . $H$ est le pied de l'altitude issue de $C$ dans le triangle $ABC$ .

On trace la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ : son pied est $H$ , donc $CH \perp AB$ .

Dans le triangle rectangle en $C$ , l'altitude sur l'hypoténuse vérifie $CH^2 = AH \times HB$ . On calcule d'abord $AC$ : $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100 - 36} = 8 \,\mathrm{cm}$ .

Relation altitude-hypoténuse : $CH = \frac{AC \times BC}{AB} = \frac{8 \times 6}{10} = 4{,}8 \,\mathrm{cm}$ .

$CH = 4{,}8 \,\mathrm{cm}$ .

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