Comment étudier algébriquement les variations d'une fonction de référence ?

Pour $f(x) = \frac{1}{x}$ (sur $]0\,;\,+\infty[$ ) : calculer $f(b) - f(a) = \frac{a-b}{ab}$ pour $0 < a < b$ et conclure que $f$ est décroissante

L'objectif

Montrer par le calcul que $f(x) = \frac{1}{x}$ est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ .

Le principe

En réduisant au même dénominateur, $f(b) - f(a) = \frac{a-b}{ab}$ : pour $0 < a < b$ , le numérateur $a - b$ est négatif et le dénominateur $ab$ est positif, donc la différence est négative.

La méthode

1
Prendre $0 < a < b$ et calculer $f(b) - f(a) = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}$ .
Comment effectuer des calculs sur des expressions fractionnaires ?Voir
2
Étudier le signe du numérateur : $a - b < 0$ car $a < b$ .
3
Étudier le signe du dénominateur : $ab > 0$ car $a > 0$ et $b > 0$ . Conclure : $\frac{a-b}{ab} < 0$ , donc $f(b) < f(a)$ : $f$ est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

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Pour f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1​ (sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[]0;+∞[) : calculer f(b)−f(a)=a−babf(b) - f(a) = \frac{a-b}{ab}f(b)−f(a)=aba−b​ pour 0<a<b0 < a < b0<a<b et conclure que fff est décroissante

Exemple corrigé

Pour $f(x) = \frac{1}{x}$ (sur $]0\,;\,+\infty[$ ) : calculer $f(b) - f(a) = \frac{a-b}{ab}$ pour $0 < a < b$ et conclure que $f$ est décroissante