Comment étudier algébriquement les variations d'une fonction de référence ? | MetMat

Comment étudier algébriquement les variations d'une fonction de référence ?

Pour $f(x) = \frac{1}{x}$ (sur $]0\,;\,+\infty[$ ) : calculer $f(b) - f(a) = \frac{a-b}{ab}$ pour $0 < a < b$ et conclure que $f$ est décroissante

Montrer par le calcul que $f(x) = \frac{1}{x}$ est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ .

L'objectif

Montrer par le calcul que $f(x) = \frac{1}{x}$ est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ .

Le principe

En réduisant au même dénominateur, $f(b) - f(a) = \frac{a-b}{ab}$ : pour $0 < a < b$ , le numérateur $a - b$ est négatif et le dénominateur $ab$ est positif, donc la différence est négative.

La méthode

1
Prendre $0 < a < b$ et calculer $f(b) - f(a) = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}$ .
Comment effectuer des calculs sur des expressions fractionnaires ?Voir
2
Étudier le signe du numérateur : $a - b < 0$ car $a < b$ .
3
Étudier le signe du dénominateur : $ab > 0$ car $a > 0$ et $b > 0$ . Conclure : $\frac{a-b}{ab} < 0$ , donc $f(b) < f(a)$ : $f$ est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f(x) = \frac{1}{x}$ est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ par le calcul.

Étape 1 —

Prendre

0 < a < b

et calculer

f(b) - f(a) = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}

Soient $0 < a < b$ . On calcule $f(b) - f(a) = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}$ .

Étape 2 —

Étudier le signe du numérateur :

a - b < 0

car

a < b

$a - b < 0$ car $a < b$ .

Étape 3 —

Étudier le signe du dénominateur :

ab > 0

car

a > 0

b > 0

. Conclure :

\frac{a-b}{ab} < 0

, donc

f(b) < f(a)

f

est décroissante sur

]0\,;\,+\infty[

$ab > 0$ car $a > 0$ et $b > 0$ . Donc $\frac{a-b}{ab} < 0$ , soit $f(b) < f(a)$ : $f$ est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ .

$f(x) = \frac{1}{x}$ est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ .

Application guidée

Comparer $f(2)$ et $f(4)$ pour $f(x) = \frac{1}{x}$ .

Application autonome 1

Montrer que $f(x) = \frac{1}{x}$ est aussi décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ .

Application autonome 2

Comparer $f(10)$ et $f(100)$ pour $f(x) = \frac{1}{x}$ .

Application autonome 3

Montrer par le calcul que $f(x) = \frac{1}{x}$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ .

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Pour f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1​ (sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[]0;+∞[) : calculer f(b)−f(a)=a−babf(b) - f(a) = \frac{a-b}{ab}f(b)−f(a)=aba−b​ pour 0<a<b0 < a < b0<a<b et conclure que fff est décroissante

Pour comprendre, fais des exercices !

Pour $f(x) = \frac{1}{x}$ (sur $]0\,;\,+\infty[$ ) : calculer $f(b) - f(a) = \frac{a-b}{ab}$ pour $0 < a < b$ et conclure que $f$ est décroissante