Comment approcher numériquement un extremum d'une fonction (balayage, dichotomie) ? | MetMat

Comment approcher numériquement un extremum d'une fonction (balayage, dichotomie) ?

Par balayage : parcourir l'intervalle avec un pas $h$ régulier, calculer $f$ en chaque point, identifier le candidat extremum, puis recommencer avec un pas plus petit pour affiner

Approcher numériquement la valeur d'un extremum d'une fonction par la méthode du balayage.

L'objectif

Approcher numériquement la valeur d'un extremum d'une fonction par la méthode du balayage.

Le principe

On évalue $f$ sur une grille de points espacés de $h$ ; le point fournissant la plus grande (ou petite) valeur est le candidat extremum, qu'on affine en réduisant le pas.

La méthode

1
Choisir un intervalle $[a\,;\,b]$ contenant l'extremum et un pas initial $h$ (par exemple $h = 0{,}1$ ).
2
Calculer $f(a)$ , $f(a+h)$ , $f(a+2h)$ , … jusqu'à $f(b)$ et repérer le $x_0$ qui donne la valeur maximale (ou minimale).
3
Recommencer sur $[x_0 - h\,;\,x_0 + h]$ avec un pas dix fois plus petit ( $h' = h/10$ ) pour affiner la précision, et répéter autant de fois que nécessaire.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On cherche le maximum de $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ sur $[0\,;\,4]$ . Appliquer la méthode de balayage avec un pas $h = 1$ , puis $h = 0{,}1$ .

Étape 1 —

Choisir un intervalle

[a\,;\,b]

contenant l'extremum et un pas initial

h

(par exemple

h = 0{,}1

Pas $h = 1$ : on calcule $f(0) = -1$ , $f(1) = 2$ , $f(2) = 3$ , $f(3) = 2$ , $f(4) = -1$ . Le maximum provisoire est en $x_0 = 2$ avec $f(2) = 3$ .

Étape 2 —

Calculer

f(a)

f(a+h)

f(a+2h)

, … jusqu'à

f(b)

et repérer le

x_0

qui donne la valeur maximale (ou minimale).

Pas $h = 0{,}1$ sur $[1{,}9\,;\,2{,}1]$ : $f(1{,}9) = 2{,}99$ , $f(2{,}0) = 3{,}00$ , $f(2{,}1) = 2{,}99$ . Le maximum est toujours en $x_0 = 2{,}0$ .

Étape 3 —

Recommencer sur

[x_0 - h\,;\,x_0 + h]

avec un pas dix fois plus petit (

h' = h/10

) pour affiner la précision, et répéter autant de fois que nécessaire.

On affinerait encore avec $h = 0{,}01$ si besoin, mais ici $x = 2$ semble être le maximum exact.

Le maximum de $f$ sur $[0\,;\,4]$ est atteint en $x = 2$ avec $f(2) = 3$ .

Application guidée

Approcher à $0{,}01$ près le minimum de $g(x) = x^2 - 3x + 1$ sur $[0\,;\,3]$ par balayage.

Application autonome 1

On sait que $f(x) = -x^2 + 6x$ a un maximum sur $[2\,;\,4]$ . Faire un balayage avec $h = 0{,}5$ .

Application autonome 2

Approcher à $0{,}1$ près le maximum de $f(x) = -x^2 + 2x + 3$ sur $[0\,;\,3]$ par balayage avec $h = 0{,}5$ puis $h = 0{,}1$ .

Application autonome 3

Approcher à $0{,}01$ près le minimum de $g(x) = x^2 + x - 1$ sur $[-1\,;\,0]$ par balayage.

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Par balayage : parcourir l'intervalle avec un pas hhh régulier, calculer fff en chaque point, identifier le candidat extremum, puis recommencer avec un pas plus petit pour affiner

Pour comprendre, fais des exercices !

Par balayage : parcourir l'intervalle avec un pas $h$ régulier, calculer $f$ en chaque point, identifier le candidat extremum, puis recommencer avec un pas plus petit pour affiner