Comment étudier la position relative de $y = x$, $y = x^2$, $y = x^3$ pour $x \geq 0$ ? | MetMat

Comment étudier la position relative de $y = x$ , $y = x^2$ , $y = x^3$ pour $x \geq 0$ ?

En calculant et en factorisant les différences $x^2 - x$ et $x^3 - x^2$

Déterminer l'ordre de $x$ , $x^2$ et $x^3$ pour $x \geq 0$ en étudiant le signe des différences factoriséees.

L'objectif

Déterminer l'ordre de $x$ , $x^2$ et $x^3$ pour $x \geq 0$ en étudiant le signe des différences factoriséees.

Le principe

La position relative de deux courbes se lit sur le signe de leur différence : si $f(x) - g(x) > 0$ , alors $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ .

La méthode

1
Calculer et factoriser $x^2 - x = x(x - 1)$ et $x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$ .
2
Étudier le signe de $x(x-1)$ pour $x \geq 0$ : $x \geq 0$ toujours, et $(x-1)$ change de signe en $x = 1$ . Donc $x(x-1) \leq 0$ sur $[0;1]$ et $x(x-1) \geq 0$ sur $[1;+\infty[$ .
3
Étudier le signe de $x^2(x-1)$ pour $x \geq 0$ : $x^2 \geq 0$ toujours, et $(x-1)$ change de signe en $x = 1$ . Donc $x^2(x-1) \leq 0$ sur $[0;1]$ et $x^2(x-1) \geq 0$ sur $[1;+\infty[$ .
4
Conclure : sur $[0;1]$ , $x^2 \leq x$ et $x^3 \leq x^2$ , soit $x^3 \leq x^2 \leq x$ ; sur $[1;+\infty[$ , $x^2 \geq x$ et $x^3 \geq x^2$ , soit $x \leq x^2 \leq x^3$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Comparer $x$ , $x^2$ et $x^3$ pour $x = 0{,}5$ .

Étape 1 —

Calculer et factoriser

x^2 - x = x(x - 1)

x^3 - x^2 = x^2(x - 1)

$x^2 - x = 0{,}5(0{,}5 - 1) = 0{,}5 \times (-0{,}5) = -0{,}25 < 0$ ; $x^3 - x^2 = 0{,}25(0{,}5 - 1) = -0{,}125 < 0$ .

Étape 2 —

Étudier le signe de

x(x-1)

pour

x \geq 0

x \geq 0

toujours, et

(x-1)

change de signe en

x = 1

. Donc

x(x-1) \leq 0

sur

[0;1]

x(x-1) \geq 0

sur

[1;+\infty[

$x^2 - x < 0$ donc $x^2 < x$ , soit $0{,}25 < 0{,}5$ .

Étape 3 —

Étudier le signe de

x^2(x-1)

pour

x \geq 0

x^2 \geq 0

toujours, et

(x-1)

change de signe en

x = 1

. Donc

x^2(x-1) \leq 0

sur

[0;1]

x^2(x-1) \geq 0

sur

[1;+\infty[

$x^3 - x^2 < 0$ donc $x^3 < x^2$ , soit $0{,}125 < 0{,}25$ .

Étape 4 —

Conclure : sur

[0;1]

x^2 \leq x

x^3 \leq x^2

, soit

x^3 \leq x^2 \leq x

; sur

[1;+\infty[

x^2 \geq x

x^3 \geq x^2

, soit

x \leq x^2 \leq x^3

On a bien $x^3 < x^2 < x$ , soit $0{,}125 < 0{,}25 < 0{,}5$ .

Pour $x = 0{,}5 \in [0;1]$ : $x^3 < x^2 < x$ .

Application guidée

Comparer $x$ , $x^2$ et $x^3$ pour $x = 2$ .

Application autonome 1

Montrer que pour tout $x \in [0;1]$ , on a $x^3 \leq x^2 \leq x$ .

Application autonome 2

Montrer que pour tout $x \geq 1$ , on a $x \leq x^2 \leq x^3$ .

Application autonome 3

En quel point les trois courbes $y = x$ , $y = x^2$ , $y = x^3$ se coupent-elles pour $x \geq 0$ ?

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En calculant et en factorisant les différences x2−xx^2 - xx2−x et x3−x2x^3 - x^2x3−x2

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant et en factorisant les différences $x^2 - x$ et $x^3 - x^2$