Comment étudier la position relative de $y = x$ , $y = x^2$ , $y = x^3$ pour $x \geq 0$ ?

En calculant et en factorisant les différences $x^2 - x$ et $x^3 - x^2$

L'objectif

Déterminer l'ordre de $x$ , $x^2$ et $x^3$ pour $x \geq 0$ en étudiant le signe des différences factoriséees.

Le principe

La position relative de deux courbes se lit sur le signe de leur différence : si $f(x) - g(x) > 0$ , alors $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ .

La méthode

1
Calculer et factoriser $x^2 - x = x(x - 1)$ et $x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$ .
2
Étudier le signe de $x(x-1)$ pour $x \geq 0$ : $x \geq 0$ toujours, et $(x-1)$ change de signe en $x = 1$ . Donc $x(x-1) \leq 0$ sur $[0;1]$ et $x(x-1) \geq 0$ sur $[1;+\infty[$ .
3
Étudier le signe de $x^2(x-1)$ pour $x \geq 0$ : $x^2 \geq 0$ toujours, et $(x-1)$ change de signe en $x = 1$ . Donc $x^2(x-1) \leq 0$ sur $[0;1]$ et $x^2(x-1) \geq 0$ sur $[1;+\infty[$ .
4
Conclure : sur $[0;1]$ , $x^2 \leq x$ et $x^3 \leq x^2$ , soit $x^3 \leq x^2 \leq x$ ; sur $[1;+\infty[$ , $x^2 \geq x$ et $x^3 \geq x^2$ , soit $x \leq x^2 \leq x^3$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En calculant et en factorisant les différences x2−xx^2 - xx2−x et x3−x2x^3 - x^2x3−x2

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En calculant et en factorisant les différences $x^2 - x$ et $x^3 - x^2$