En utilisant $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ pour développer ou factoriser sous la racine

Simplifier une racine carrée en décomposant le radicande en facteurs dont l'un est un carré parfait.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Simplifier $\sqrt{48}$ .

L'objectif

Simplifier une racine carrée en décomposant le radicande en facteurs dont l'un est un carré parfait.

Le principe

La propriété $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ (pour $a, b \geq 0$ ) permet de sortir un facteur carré parfait de sous la racine.

La méthode

1
Décomposer le radicande en un produit contenant un carré parfait : chercher le plus grand entier $k$ tel que $k^2$ divise le radicande.
2
Appliquer $\sqrt{k^2 \times m} = \sqrt{k^2} \times \sqrt{m} = k\sqrt{m}$ pour sortir $k$ de sous la racine.
3
Vérifier que le résultat ne contient plus de carré parfait sous la racine et simplifier si nécessaire.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Simplifier $\sqrt{48}$ .

Étape 1 —

Décomposer le radicande en un produit contenant un carré parfait : chercher le plus grand entier

k

tel que

k^2

divise le radicande.

$48 = 16 \times 3$ et $16 = 4^2$ est un carré parfait.

Étape 2 —

Appliquer

\sqrt{k^2 \times m} = \sqrt{k^2} \times \sqrt{m} = k\sqrt{m}

pour sortir

k

de sous la racine.

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ .

Étape 3 —

Vérifier que le résultat ne contient plus de carré parfait sous la racine et simplifier si nécessaire.

$3$ ne contient pas de carré parfait, donc $4\sqrt{3}$ est la forme simplifiée.

$4\sqrt{3}$

Application guidée

Simplifier $\sqrt{75}$ .

Application autonome 1

Calculer $\sqrt{12} \times \sqrt{3}$ .

Application autonome 2

Simplifier $\sqrt{18x^2}$ pour $x \geq 0$ .

Application autonome 3

Simplifier $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$ .

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