En utilisant $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ pour développer ou factoriser sous la racine

Simplifier une racine carrée en décomposant le radicande en facteurs dont l'un est un carré parfait.

L'objectif

Simplifier une racine carrée en décomposant le radicande en facteurs dont l'un est un carré parfait.

Le principe

La propriété $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ (pour $a, b \geq 0$ ) permet de sortir un facteur carré parfait de sous la racine.

La méthode

1
Décomposer le radicande en un produit contenant un carré parfait : chercher le plus grand entier $k$ tel que $k^2$ divise le radicande.
2
Appliquer $\sqrt{k^2 \times m} = \sqrt{k^2} \times \sqrt{m} = k\sqrt{m}$ pour sortir $k$ de sous la racine.
3
Vérifier que le résultat ne contient plus de carré parfait sous la racine et simplifier si nécessaire.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Simplifier $\sqrt{48}$ .

Étape 1 —

Décomposer le radicande en un produit contenant un carré parfait : chercher le plus grand entier

k

tel que

k^2

divise le radicande.

$48 = 16 \times 3$ et $16 = 4^2$ est un carré parfait.

Étape 2 —

Appliquer

\sqrt{k^2 \times m} = \sqrt{k^2} \times \sqrt{m} = k\sqrt{m}

pour sortir

k

de sous la racine.

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ .

Étape 3 —

Vérifier que le résultat ne contient plus de carré parfait sous la racine et simplifier si nécessaire.

$3$ ne contient pas de carré parfait, donc $4\sqrt{3}$ est la forme simplifiée.

$4\sqrt{3}$

Application guidée

Simplifier $\sqrt{75}$ .

Application autonome 1

Calculer $\sqrt{12} \times \sqrt{3}$ .

Application autonome 2

Simplifier $\sqrt{18x^2}$ pour $x \geq 0$ .

Application autonome 3

Simplifier $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$ .

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