Classer un nombre selon son écriture décimale

Déterminer la nature d'un nombre à partir de son développement décimal.

L'objectif

Déterminer la nature d'un nombre à partir de son développement décimal.

Le principe

L'écriture décimale d'un nombre révèle sa nature : finie → décimal ; infinie périodique → rationnel ; infinie apériodique → irrationnel.

La méthode

1
Écrire ou obtenir le développement décimal du nombre (par division, calculatrice ou forme algébrique).
2
Observer si le développement est fini : si oui, le nombre est décimal (et rationnel).
3
Si le développement est infini, chercher un motif qui se répète : si oui, le nombre est rationnel (non décimal).
4
Si le développement est infini sans aucune période, le nombre est irrationnel.

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Exercice d'exemple

Classer $0{,}375$ .

Étape 1 —

Écrire ou obtenir le développement décimal du nombre (par division, calculatrice ou forme algébrique).

L'écriture décimale est $0{,}375$ , qui comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.

Étape 2 —

Observer si le développement est fini : si oui, le nombre est décimal (et rationnel).

Le développement est fini : $0{,}375$ est donc un nombre décimal.

Étape 3 —

Si le développement est infini, chercher un motif qui se répète : si oui, le nombre est rationnel (non décimal).

Pas besoin de chercher une période : le nombre est décimal, donc aussi rationnel ( $0{,}375 = \frac{3}{8}$ ).

Étape 4 —

Si le développement est infini sans aucune période, le nombre est irrationnel.

Conclusion : $0{,}375 \in \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ .

$0{,}375$ est un nombre décimal (et rationnel).

Application guidée

Classer $\frac{1}{3}$ .

Application autonome 1

Classer $\sqrt{2}$ .

Application autonome 2

Classer $0{,}142857142857\ldots$

Application autonome 3

Classer $\frac{7}{4}$ .

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