Comment dénombrer les issues et calculer des probabilités avec un arbre ?

En dessinant l'arbre, en annotant chaque branche de sa probabilité, puis en multipliant les probabilités le long de chaque chemin

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.

La méthode

1
Dessiner l'arbre : chaque nœud représente une issue intermédiaire, chaque branche une épreuve avec ses issues.
2
Annoter chaque branche avec sa probabilité (vérifier que la somme des branches issues d'un même nœud vaut 1).
3
Calculer la probabilité de chaque feuille (chemin complet) en multipliant les probabilités des branches empruntées.
4
Pour un événement, additionner les probabilités des feuilles qui lui correspondent.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.

1

Arbre à 2 niveaux. Niveau 1 : R (rouge) ou B (bleue). Niveau 2 : idem (remise en place).

2

$P(R) = \frac{3}{5}$ , $P(B) = \frac{2}{5}$ à chaque tirage. Somme par nœud : $\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$ . ✓

3

Probabilités des feuilles : $P(R,R) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$ ; $P(R,B) = \frac{6}{25}$ ; $P(B,R) = \frac{6}{25}$ ; $P(B,B) = \frac{4}{25}$ .

4

Même couleur : feuilles (R,R) et (B,B). $P = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25}$ .

$P(\text{même couleur}) = \frac{13}{25} = 0{,}52$ .

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