Comment comparer deux quantités algébriquement ?

Comparer deux quantités par leur différence

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Comparer $A = (x+2)^2$ et $B = x^2 + 4$ pour tout réel $x$ .

La méthode

1
Calculer la différence $A - B$ en développant et réduisant l'expression.
2
Étudier le signe de la différence obtenue (factoriser si nécessaire pour déterminer le signe).
3
Conclure : si $A - B > 0$ alors $A > B$ ; si $A - B = 0$ alors $A = B$ ; si $A - B < 0$ alors $A < B$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Comparer $A = (x+2)^2$ et $B = x^2 + 4$ pour tout réel $x$ .

1

$A - B = (x+2)^2 - (x^2 + 4) = x^2 + 4x + 4 - x^2 - 4 = 4x$ .

2

Le signe de $4x$ dépend de $x$ : $4x > 0$ si $x > 0$ , $4x = 0$ si $x = 0$ , $4x < 0$ si $x < 0$ .

3

Donc $A > B$ si $x > 0$ , $A = B$ si $x = 0$ , et $A < B$ si $x < 0$ .

$A > B$ si $x > 0$ , $A = B$ si $x = 0$ , $A < B$ si $x < 0$

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