En traçant les courbes de $f$ et de $g$ dans le même repère, en lisant les abscisses des intersections (solution de $f(x)=g(x)$ ) ou les abscisses des portions où la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$ (solution de $f(x) < g(x)$ )

Résoudre graphiquement $f(x) = g(x)$ ou $f(x) < g(x)$ en comparant les courbes de $f$ et $g$ dans un même repère.

L'objectif

Résoudre graphiquement $f(x) = g(x)$ ou $f(x) < g(x)$ en comparant les courbes de $f$ et $g$ dans un même repère.

Le principe

Résoudre $f(x) = g(x)$ revient à trouver les abscisses des intersections des deux courbes ; résoudre $f(x) < g(x)$ revient à repérer les intervalles d'abscisses où la courbe de $f$ est strictement en dessous de celle de $g$ .

La méthode

1
Tracer les courbes de $f$ et de $g$ dans le même repère (ou les identifier si elles sont déjà tracées).
2
Repérer les points d'intersection et lire leurs abscisses : ce sont les solutions de $f(x) = g(x)$ .
3
Pour $f(x) < g(x)$ , identifier les intervalles d'abscisses où la courbe de $f$ est strictement en dessous de celle de $g$ et écrire l'ensemble solution.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Les courbes de $f$ et $g$ se croisent aux abscisses $-2$ et $3$ . Résoudre $f(x) = g(x)$ .

Étape 1 —

Tracer les courbes de

f

et de

g

dans le même repère (ou les identifier si elles sont déjà tracées).

On identifie les deux courbes dans le repère.

Étape 2 —

Repérer les points d'intersection et lire leurs abscisses : ce sont les solutions de

f(x) = g(x)

Les intersections ont pour abscisses $-2$ et $3$ .

Étape 3 —

Pour

f(x) < g(x)

, identifier les intervalles d'abscisses où la courbe de

f

est strictement en dessous de celle de

g

et écrire l'ensemble solution.

Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont $x = -2$ et $x = 3$ .

$\mathcal{S} = \{-2\,;\,3\}$

Application guidée

Les courbes de $f$ et $g$ se croisent en $x = -2$ et $x = 3$ . La courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$ sur $]-2\,;\,3[$ . Résoudre $f(x) < g(x)$ .

Application autonome 1

La courbe de $f$ est toujours au-dessus de celle de $g$ et ne la coupe pas. Résoudre $f(x) = g(x)$ puis $f(x) < g(x)$ .

Application autonome 2

Les courbes de $f$ et $g$ se croisent en $x = 0$ . Sur $]-\infty\,;\,0[$ , la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$ . Résoudre $f(x) \leq g(x)$ .

Application autonome 3

Les courbes de $f$ et $g$ se croisent en $x = 1$ . Sur $]-\infty\,;\,1[$ , la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ , et en dessous sur $]1\,;\,+\infty[$ . Résoudre $f(x) > g(x)$ .

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En traçant les courbes de fff et de ggg dans le même repère, en lisant les abscisses des intersections (solution de f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x)) ou les abscisses des portions où la courbe de fff est en dessous de celle de ggg (solution de f(x)<g(x)f(x) < g(x)f(x)<g(x))

Pour comprendre, fais des exercices !

En traçant les courbes de $f$ et de $g$ dans le même repère, en lisant les abscisses des intersections (solution de $f(x)=g(x)$ ) ou les abscisses des portions où la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$ (solution de $f(x) < g(x)$ )