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Comment étudier algébriquement les variations d'une fonction de référence ?

Pour f(x)=x2f(x) = x^2 : calculer f(b)−f(a)=(b−a)(b+a)f(b) - f(a) = (b-a)(b+a) pour a<ba < b et étudier le signe selon que a,b∈]−∞ ; 0]a, b \in ]-\infty\,;\,0] ou [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[

L'objectif

Montrer par le calcul que f(x)=x2f(x) = x^2 est décroissante sur ]−∞ ; 0]]-\infty\,;\,0] et croissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[.

Le principe

On factorise f(b)−f(a)=(b−a)(b+a)f(b) - f(a) = (b-a)(b+a) : le signe dépend à la fois du signe de (b−a)(b-a), toujours positif car a<ba < b, et du signe de (b+a)(b+a), qui dépend des valeurs de aa et bb.

La méthode
  1. 1
    Prendre a<ba < b et calculer f(b)−f(a)=b2−a2=(b−a)(b+a)f(b) - f(a) = b^2 - a^2 = (b-a)(b+a).
    Voir
  2. 2
    Observer que b−a>0b - a > 0 puisque a<ba < b.
  3. 3
    Étudier le signe de (b+a)(b+a) : si a,b∈[0 ; +∞[a, b \in [0\,;\,+\infty[, alors b+a≥0b+a \geq 0, donc f(b)−f(a)≥0f(b) - f(a) \geq 0 : ff est croissante. Si a,b∈]−∞ ; 0]a, b \in ]-\infty\,;\,0], alors b+a≤0b+a \leq 0, donc f(b)−f(a)≤0f(b) - f(a) \leq 0 : ff est décroissante.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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