Comment étudier algébriquement les variations d'une fonction de référence ?

Pour $f(x) = x^2$ : calculer $f(b) - f(a) = (b-a)(b+a)$ pour $a < b$ et étudier le signe selon que $a, b \in ]-\infty\,;\,0]$ ou $[0\,;\,+\infty[$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x) = x^2$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ par le calcul.

La méthode

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Prendre $a < b$ et calculer $f(b) - f(a) = b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$ .
Comment développer ou factoriser une expression avec les identités remarquables ?Voir
2
Observer que $b - a > 0$ puisque $a < b$ .
3
Étudier le signe de $(b+a)$ : si $a, b \in [0\,;\,+\infty[$ , alors $b+a \geq 0$ , donc $f(b) - f(a) \geq 0$ : $f$ est croissante. Si $a, b \in ]-\infty\,;\,0]$ , alors $b+a \leq 0$ , donc $f(b) - f(a) \leq 0$ : $f$ est décroissante.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Montrer que $f(x) = x^2$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ par le calcul.

1

Soient $0 \leq a < b$ . On calcule $f(b) - f(a) = b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$ .

2

$b - a > 0$ car $a < b$ .

3

$b + a \geq 0$ car $a \geq 0$ et $b \geq 0$ . Donc $(b-a)(b+a) \geq 0$ , soit $f(b) \geq f(a)$ : $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

$f(x) = x^2$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

Pour $f(x) = x^2$ : calculer $f(b) - f(a) = (b-a)(b+a)$ pour $a < b$ et étudier le signe selon que $a, b \in ]-\infty\,;\,0]$ ou $[0\,;\,+\infty[$