Comment étudier la parité d'une fonction ?

En calculant $f(-x)$ et en le comparant à $f(x)$ (pair : $f(-x) = f(x)$ , axe de symétrie $Oy$ ) ou à $-f(x)$ (impair : $f(-x) = -f(x)$ , centre de symétrie $O$ )

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la parité de $f(x) = x^2 - 3$ .

La méthode

1
Vérifier que le domaine de définition de $f$ est symétrique par rapport à $0$ (condition nécessaire).
2
Calculer $f(-x)$ en remplaçant $x$ par $-x$ dans l'expression de $f$ , puis simplifier.
3
Comparer $f(-x)$ à $f(x)$ et à $-f(x)$ : conclure sur la parité.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Étudier la parité de $f(x) = x^2 - 3$ .

1

Le domaine est $\mathbb{R}$ , symétrique par rapport à $0$ .

2

On calcule $f(-x) = (-x)^2 - 3 = x^2 - 3$ .

3

$f(-x) = x^2 - 3 = f(x)$ , donc $f$ est paire. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe $Oy$ .

$f$ est paire.

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Comment étudier la parité d'une fonction ?

En calculant f(−x)f(-x)f(−x) et en le comparant à f(x)f(x)f(x) (pair : f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)f(−x)=f(x), axe de symétrie OyOyOy) ou à −f(x)-f(x)−f(x) (impair : f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x), centre de symétrie OOO)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En calculant $f(-x)$ et en le comparant à $f(x)$ (pair : $f(-x) = f(x)$ , axe de symétrie $Oy$ ) ou à $-f(x)$ (impair : $f(-x) = -f(x)$ , centre de symétrie $O$ )