Comment étudier la parité d'une fonction ?

En calculant $f(-x)$ et en le comparant à $f(x)$ (pair : $f(-x) = f(x)$ , axe de symétrie $Oy$ ) ou à $-f(x)$ (impair : $f(-x) = -f(x)$ , centre de symétrie $O$ )

L'objectif

Déterminer si une fonction $f$ est paire, impaire ou ni l'une ni l'autre, en calculant $f(-x)$ .

Le principe

On calcule $f(-x)$ et on le simplifie : si $f(-x) = f(x)$ , la fonction est paire (symétrie par rapport à $Oy$ ) ; si $f(-x) = -f(x)$ , elle est impaire (symétrie par rapport à $O$ ) ; sinon, elle n'est ni paire ni impaire.

La méthode

1
Vérifier que le domaine de définition de $f$ est symétrique par rapport à $0$ (condition nécessaire).
2
Calculer $f(-x)$ en remplaçant $x$ par $-x$ dans l'expression de $f$ , puis simplifier.
3
Comparer $f(-x)$ à $f(x)$ et à $-f(x)$ : conclure sur la parité.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En calculant f(−x)f(-x)f(−x) et en le comparant à f(x)f(x)f(x) (pair : f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)f(−x)=f(x), axe de symétrie OyOyOy) ou à −f(x)-f(x)−f(x) (impair : f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x), centre de symétrie OOO)

Exemple corrigé

En calculant $f(-x)$ et en le comparant à $f(x)$ (pair : $f(-x) = f(x)$ , axe de symétrie $Oy$ ) ou à $-f(x)$ (impair : $f(-x) = -f(x)$ , centre de symétrie $O$ )