Comment vérifier que trois points sont alignés à l'aide des équations de droite ?

En déterminant l'équation de la droite passant par deux des points, puis en vérifiant que les coordonnées du troisième point satisfont cette équation

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Les points $A(1\,;\,3)$ , $B(3\,;\,7)$ et $C(5\,;\,11)$ sont-ils alignés ?

La méthode

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Calculer le coefficient directeur de la droite passant par deux des trois points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .
Comment déterminer le coefficient directeur (pente) d'une droite ?Voir
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Déterminer l'ordonnée à l'origine $p$ en substituant les coordonnées de l'un des deux points dans $y = mx + p$ .
Comment trouver l'équation réduite d'une droite ($y = mx + p$) ?Voir
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Substituer les coordonnées du troisième point $C(x_C\,;\,y_C)$ dans l'équation $y = mx + p$ : si $y_C = mx_C + p$ , les trois points sont alignés ; sinon, ils ne le sont pas.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Les points $A(1\,;\,3)$ , $B(3\,;\,7)$ et $C(5\,;\,11)$ sont-ils alignés ?

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Coefficient directeur de $(AB)$ : $m = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ .

2

Ordonnée à l'origine : $3 = 2 \times 1 + p$ , donc $p = 1$ . L'équation de $(AB)$ est $y = 2x + 1$ .

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On vérifie pour $C(5\,;\,11)$ : $2 \times 5 + 1 = 11$ ✓. Le point $C$ appartient à la droite $(AB)$ .

Les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

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