En effectuant la division euclidienne et en vérifiant que le reste est nul

Vérifier qu'un entier $a$ est divisible par un entier $b$ en calculant le reste de la division euclidienne.

L'objectif

Vérifier qu'un entier $a$ est divisible par un entier $b$ en calculant le reste de la division euclidienne.

Le principe

Un entier $a$ est un multiple de $b$ si et seulement si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul.

La méthode

1
Écrire la division euclidienne : $a = b \times q + r$ avec $0 \leq r < b$ .
2
Calculer le quotient $q$ (partie entière de $a \div b$ ) et le reste $r = a - b \times q$ .
3
Conclure : si $r = 0$ , alors $a$ est un multiple de $b$ (et $b$ est un diviseur de $a$ ) ; sinon, $a$ n'est pas multiple de $b$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

198 est-il un multiple de 9 ?

Étape 1 —

Écrire la division euclidienne :

a = b \times q + r

avec

0 \leq r < b

On écrit : $198 = 9 \times q + r$ .

Étape 2 —

Calculer le quotient

q

(partie entière de

a \div b

) et le reste

r = a - b \times q

$9 \times 22 = 198$ , donc $q = 22$ et $r = 198 - 9 \times 22 = 0$ .

Étape 3 —

Conclure : si

r = 0

, alors

a

est un multiple de

b

(et

b

est un diviseur de

a

) ; sinon,

a

n'est pas multiple de

b

Le reste est $0$ , donc 198 est bien un multiple de 9.

198 est un multiple de 9.

Application guidée

145 est-il un multiple de 7 ?

Application autonome 1

4 est-il un diviseur de 132 ?

Application autonome 2

6 est-il un diviseur de 85 ?

Application autonome 3

$273$ est-il un multiple de $13$ ?

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