En calculant le rapport trigonométrique correspondant à l'angle cherché, puis en utilisant $\arccos$ , $\arcsin$ ou $\arctan$

Calculer la mesure d'un angle aigu d'un triangle rectangle connaissant au moins deux de ses côtés.

L'objectif

Calculer la mesure d'un angle aigu d'un triangle rectangle connaissant au moins deux de ses côtés.

Le principe

On calcule le rapport trigonométrique (cosinus, sinus ou tangente) de l'angle cherché à partir des longueurs connues, puis on applique la fonction inverse ( $\arccos$ , $\arcsin$ ou $\arctan$ ) pour obtenir l'angle.

La méthode

1
Identifier l'angle cherché $\alpha$ et les côtés connus par rapport à cet angle (adjacent, opposé, hypoténuse).
2
Choisir et calculer le rapport trigonométrique approprié : $\cos\alpha = \frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}$ , $\sin\alpha = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{hyp}}$ ou $\tan\alpha = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{adj}}$ .
3
Utiliser la fonction inverse à la calculatrice pour obtenir la mesure de l'angle : $\alpha = \arccos(\ldots)$ , $\alpha = \arcsin(\ldots)$ ou $\alpha = \arctan(\ldots)$ , et arrondir au degré ou au dixième de degré selon la précision demandée.

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Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ , $AB = 4$ cm et $AC = 8$ cm. Calculer $\widehat{BAC}$ .

Étape 1 —

Identifier l'angle cherché

\alpha

et les côtés connus par rapport à cet angle (adjacent, opposé, hypoténuse).

On cherche $\widehat{BAC}$ . Par rapport à cet angle : $AB = 4$ cm est le côté adjacent, $AC = 8$ cm est l'hypoténuse.

Étape 2 —

Choisir et calculer le rapport trigonométrique approprié :

\cos\alpha = \frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}

\sin\alpha = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{hyp}}

\tan\alpha = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{adj}}

On calcule le rapport cosinus : $\cos\widehat{BAC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{8} = 0{,}5$ .

Étape 3 —

Utiliser la fonction inverse à la calculatrice pour obtenir la mesure de l'angle :

\alpha = \arccos(\ldots)

\alpha = \arcsin(\ldots)

\alpha = \arctan(\ldots)

, et arrondir au degré ou au dixième de degré selon la précision demandée.

On applique la fonction inverse à la calculatrice : $\widehat{BAC} = \arccos(0{,}5) = 60°$ .

$\widehat{BAC} = 60°$

Application guidée

Dans le triangle $PQR$ rectangle en $Q$ , $QR = 5$ cm et $PR = 13$ cm. Calculer $\widehat{QPR}$ .

Application autonome 1

Dans le triangle $DEF$ rectangle en $E$ , $DE = 3$ cm et $EF = 4$ cm. Calculer $\widehat{EDF}$ .

Application autonome 2

Dans le triangle $MNP$ rectangle en $N$ , $MN = 7$ cm et $MP = 10$ cm. Calculer $\widehat{NMP}$ .

Application autonome 3

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ , $AC = 8$ cm et $AB = 10$ cm. Calculer $\widehat{BAC}$ .

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En calculant le rapport trigonométrique correspondant à l'angle cherché, puis en utilisant arccos⁡\arccosarccos, arcsin⁡\arcsinarcsin ou arctan⁡\arctanarctan

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En calculant le rapport trigonométrique correspondant à l'angle cherché, puis en utilisant $\arccos$ , $\arcsin$ ou $\arctan$