En introduisant un point intermédiaire $B$ et en écrivant $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

Exprimer un vecteur $\overrightarrow{AC}$ comme somme de deux vecteurs en utilisant la relation de Chasles.

L'objectif

Exprimer un vecteur $\overrightarrow{AC}$ comme somme de deux vecteurs en utilisant la relation de Chasles.

Le principe

La relation de Chasles affirme que pour tous points $A$ , $B$ , $C$ : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ . On choisit le point intermédiaire $B$ de manière stratégique selon le contexte.

La méthode

1
Identifier le vecteur à décomposer et choisir un point intermédiaire $B$ pertinent (un point connu du problème, le milieu, etc.).
2
Écrire la relation de Chasles : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .
3
Substituer les vecteurs connus ou calculer les coordonnées pour obtenir le résultat final, en utilisant si nécessaire $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exprimer $\overrightarrow{AC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ .

Étape 1 —

Identifier le vecteur à décomposer et choisir un point intermédiaire

B

pertinent (un point connu du problème, le milieu, etc.).

On veut décomposer $\overrightarrow{AC}$ en passant par le point intermédiaire $B$ .

Étape 2 —

Écrire la relation de Chasles :

\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}

On applique la relation de Chasles : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .

Étape 3 —

Substituer les vecteurs connus ou calculer les coordonnées pour obtenir le résultat final, en utilisant si nécessaire

\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}

L'expression est déjà simplifiée : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .

Application guidée

Simplifier $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$ .

Application autonome 1

Exprimer $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}$ en utilisant le milieu $I$ de $[AB]$ .

Application autonome 2

Simplifier $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}$ .

Application autonome 3

Montrer que $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$ .

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En introduisant un point intermédiaire BBB et en écrivant AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}AC=AB+BC

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En introduisant un point intermédiaire $B$ et en écrivant $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$