Comment calculer des longueurs dans une figure géométrique ?

En utilisant les rapports trigonométriques dans un triangle rectangle : $\cos\alpha = \frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}$ , $\sin\alpha = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{hyp}}$ , $\tan\alpha = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{adj}}$

Calculer une longueur dans un triangle rectangle à l'aide d'un angle connu et d'un rapport trigonométrique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ , $\widehat{BAC} = 30°$ et $AC = 8$ cm. Calculer $AB$ .

L'objectif

Calculer une longueur dans un triangle rectangle à l'aide d'un angle connu et d'un rapport trigonométrique.

Le principe

Dans un triangle rectangle, les rapports entre les côtés sont fixés par les angles : $\cos\alpha = \frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}$ , $\sin\alpha = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{hyp}}$ , $\tan\alpha = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{adj}}$ .

La méthode

1
Repérer l'angle connu $\alpha$ dans le triangle rectangle et identifier les côtés par rapport à cet angle : le côté adjacent, le côté opposé et l'hypoténuse.
2
Choisir le rapport trigonométrique qui implique le côté connu et le côté cherché : $\cos\alpha = \frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}$ , $\sin\alpha = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{hyp}}$ ou $\tan\alpha = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{adj}}$ .
3
Écrire l'égalité trigonométrique, puis isoler et calculer la longueur inconnue.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ , $\widehat{BAC} = 30°$ et $AC = 8$ cm. Calculer $AB$ .

Étape 1 —

Repérer l'angle connu

\alpha

dans le triangle rectangle et identifier les côtés par rapport à cet angle : le côté adjacent, le côté opposé et l'hypoténuse.

L'angle connu est $\widehat{BAC} = 30°$ . Par rapport à cet angle : $AB$ est le côté adjacent, $BC$ est le côté opposé, $AC = 8$ cm est l'hypoténuse.

Étape 2 —

Choisir le rapport trigonométrique qui implique le côté connu et le côté cherché :

\cos\alpha = \frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}

\sin\alpha = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{hyp}}

\tan\alpha = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{adj}}

On dispose du côté adjacent et de l'hypoténuse : on utilise le cosinus, $\cos 30° = \dfrac{AB}{AC}$ .

Étape 3 —

Écrire l'égalité trigonométrique, puis isoler et calculer la longueur inconnue.

$AB = AC \times \cos 30° = 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ cm.

$AB = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ cm

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