Comment approcher numériquement un extremum d'une fonction (balayage, dichotomie) ? | MetMat

Comment approcher numériquement un extremum d'une fonction (balayage, dichotomie) ?

Par dichotomie : diviser l'intervalle encadrant l'extremum en deux à chaque étape et conserver le sous-intervalle qui contient le maximum (ou minimum), jusqu'à atteindre la précision souhaitée

Approcher numériquement la valeur d'un extremum d'une fonction par la méthode de dichotomie.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Le maximum de $f(x) = -x^2 + 4x$ se trouve dans $[1\,;\,3]$ . Appliquer deux étapes de dichotomie.

L'objectif

Approcher numériquement la valeur d'un extremum d'une fonction par la méthode de dichotomie.

Le principe

On encadre l'abscisse de l'extremum dans un intervalle $[a\,;\,b]$ , puis on compare $f$ au milieu $m = \frac{a+b}{2}$ et à ses voisins pour décider quel demi-intervalle contient l'extremum.

La méthode

1
Partir d'un intervalle $[a\,;\,b]$ contenant l'extremum et calculer le milieu $m = \frac{a+b}{2}$ .
2
Comparer $f(m)$ à $f\!\left(\frac{a+m}{2}\right)$ et $f\!\left(\frac{m+b}{2}\right)$ pour déterminer dans quel demi-intervalle se trouve l'extremum.
3
Remplacer $[a\,;\,b]$ par le demi-intervalle retenu et répéter jusqu'à ce que la longueur $b - a$ soit inférieure à la précision souhaitée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Le maximum de $f(x) = -x^2 + 4x$ se trouve dans $[1\,;\,3]$ . Appliquer deux étapes de dichotomie.

Étape 1 —

Partir d'un intervalle

[a\,;\,b]

contenant l'extremum et calculer le milieu

m = \frac{a+b}{2}

Étape 1 : $m_1 = \frac{1+3}{2} = 2$ . On calcule $f(1{,}5) = 3{,}75$ , $f(2) = 4$ , $f(2{,}5) = 3{,}75$ . Le maximum est au milieu $m_1 = 2$ : on conserve $[1{,}5\,;\,2{,}5]$ .

Étape 2 —

Comparer

f(m)

f\!\left(\frac{a+m}{2}\right)

f\!\left(\frac{m+b}{2}\right)

pour déterminer dans quel demi-intervalle se trouve l'extremum.

Étape 2 : $m_2 = \frac{1{,}5 + 2{,}5}{2} = 2$ . $f(1{,}75) = 3{,}9375$ , $f(2) = 4$ , $f(2{,}25) = 3{,}9375$ . Le maximum est encore en $x = 2$ .

Étape 3 —

Remplacer

[a\,;\,b]

par le demi-intervalle retenu et répéter jusqu'à ce que la longueur

b - a

soit inférieure à la précision souhaitée.

L'intervalle converge vers $x = 2$ : l'abscisse du maximum est $2$ et $f(2) = 4$ .

Le maximum de $f$ est $f(2) = 4$ , atteint en $x = 2$ .

Application guidée

Le minimum de $g(x) = x^2 - 2x + 3$ est dans $[0\,;\,2]$ . Faire deux itérations de dichotomie.

Application autonome 1

Expliquer l'avantage de la dichotomie sur le balayage pour approcher un extremum.

Application autonome 2

Le maximum de $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ est dans $[2\,;\,4]$ . Faire deux étapes de dichotomie.

Application autonome 3

Le minimum de $g(x) = (x - 1)^2 + 3$ est dans $[0\,;\,2]$ . Effectuer deux itérations de dichotomie.

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