Comment approcher numériquement un extremum d'une fonction (balayage, dichotomie) ?

Par dichotomie : diviser l'intervalle encadrant l'extremum en deux à chaque étape et conserver le sous-intervalle qui contient le maximum (ou minimum), jusqu'à atteindre la précision souhaitée

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Le maximum de $f(x) = -x^2 + 4x$ se trouve dans $[1\,;\,3]$ . Appliquer deux étapes de dichotomie.

La méthode

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Partir d'un intervalle $[a\,;\,b]$ contenant l'extremum et calculer le milieu $m = \frac{a+b}{2}$ .
2
Comparer $f(m)$ à $f\!\left(\frac{a+m}{2}\right)$ et $f\!\left(\frac{m+b}{2}\right)$ pour déterminer dans quel demi-intervalle se trouve l'extremum.
3
Remplacer $[a\,;\,b]$ par le demi-intervalle retenu et répéter jusqu'à ce que la longueur $b - a$ soit inférieure à la précision souhaitée.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Le maximum de $f(x) = -x^2 + 4x$ se trouve dans $[1\,;\,3]$ . Appliquer deux étapes de dichotomie.

1

Étape 1 : $m_1 = \frac{1+3}{2} = 2$ . On calcule $f(1{,}5) = 3{,}75$ , $f(2) = 4$ , $f(2{,}5) = 3{,}75$ . Le maximum est au milieu $m_1 = 2$ : on conserve $[1{,}5\,;\,2{,}5]$ .

2

Étape 2 : $m_2 = \frac{1{,}5 + 2{,}5}{2} = 2$ . $f(1{,}75) = 3{,}9375$ , $f(2) = 4$ , $f(2{,}25) = 3{,}9375$ . Le maximum est encore en $x = 2$ .

3

L'intervalle converge vers $x = 2$ : l'abscisse du maximum est $2$ et $f(2) = 4$ .

Le maximum de $f$ est $f(2) = 4$ , atteint en $x = 2$ .

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