Comment résoudre un problème d'optimisation géométrique ?
Optimiser une grandeur géométrique par étude de fonction
L'objectif
Trouver la valeur d'un paramètre géométrique qui minimise ou maximise une grandeur (aire, périmètre, longueur).
Le principe
On modélise la grandeur à optimiser par une fonction d'une seule variable, puis on cherche son extremum sur l'intervalle admissible en étudiant ses variations.
La méthode
- 1Nommer la variable : choisir une grandeur variable (longueur, coordonnée…) et préciser le domaine admissible en tenant compte des contraintes géométriques.
- 2Exprimer la grandeur à optimiser (aire, périmètre, longueur…) en fonction de uniquement, en éliminant toute autre variable grâce aux relations géométriques du problème.Comment exprimer une variable en fonction des autres dans une formule ?Voir
- 3Étudier les variations de la fonction sur (tableau de variations, sens de variation, calcul algébrique) pour identifier le minimum ou le maximum.Comment étudier algébriquement les variations d'une fonction de référence ?Voir
- 4Conclure : donner la valeur de qui réalise l'extremum, la valeur optimale de la grandeur, et vérifier que la solution est bien dans le domaine admissible.
Exemple corrigé
Difficulté croissante de 1 à 5
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