En traçant la droite horizontale $y = k$ , puis en lisant les abscisses des intersections avec la courbe (solution de $f(x)=k$ ) ou les abscisses des portions de courbe situées en dessous (solution de $f(x) < k$ )

Résoudre graphiquement une équation $f(x) = k$ ou une inéquation $f(x) < k$ à partir de la courbe de $f$ .

L'objectif

Résoudre graphiquement une équation $f(x) = k$ ou une inéquation $f(x) < k$ à partir de la courbe de $f$ .

Le principe

Résoudre $f(x) = k$ revient à trouver les abscisses des intersections entre la courbe et la droite $y = k$ ; résoudre $f(x) < k$ revient à repérer les abscisses pour lesquelles la courbe est strictement en dessous de cette droite.

La méthode

1
Tracer la droite horizontale $y = k$ sur le graphique contenant la courbe de $f$ .
2
Identifier les intersections entre la courbe et la droite, et lire leurs abscisses : ce sont les solutions de $f(x) = k$ .
3
Pour $f(x) < k$ , repérer les intervalles d'abscisses pour lesquels la courbe est strictement en dessous de la droite $y = k$ : ce sont les solutions de l'inéquation.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

La droite $y = 2$ coupe la courbe de $f$ aux points d'abscisses $-3$ et $1$ . Résoudre $f(x) = 2$ .

Étape 1 —

Tracer la droite horizontale

y = k

sur le graphique contenant la courbe de

f

On trace la droite $y = 2$ sur le graphique.

Étape 2 —

Identifier les intersections entre la courbe et la droite, et lire leurs abscisses : ce sont les solutions de

f(x) = k

Elle coupe la courbe en deux points d'abscisses $-3$ et $1$ .

Étape 3 —

Pour

f(x) < k

, repérer les intervalles d'abscisses pour lesquels la courbe est strictement en dessous de la droite

y = k

: ce sont les solutions de l'inéquation.

Les solutions de $f(x) = 2$ sont donc $x = -3$ et $x = 1$ .

$\mathcal{S} = \{-3\,;\,1\}$

Application guidée

La droite $y = 2$ coupe la courbe de $f$ aux abscisses $-3$ et $1$ . La courbe est en dessous de $y=2$ pour $x \in ]-3\,;\,1[$ . Résoudre $f(x) < 2$ .

Application autonome 1

La droite $y = -1$ ne coupe pas la courbe de $f$ , et la courbe est entièrement au-dessus. Résoudre $f(x) = -1$ puis $f(x) < -1$ .

Application autonome 2

La droite $y = 5$ coupe la courbe de $f$ aux abscisses $-2$ et $4$ . La courbe est au-dessus de $y = 5$ sur $]-\infty\,;\,-2[ \cup ]4\,;\,+\infty[$ . Résoudre $f(x) \geq 5$ .

Application autonome 3

La droite $y = 0$ coupe la courbe de $g$ aux abscisses $-1$ et $3$ . La courbe est en dessous de l'axe des abscisses sur $]-1\,;\,3[$ . Résoudre $g(x) > 0$ .

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En traçant la droite horizontale y=ky = ky=k, puis en lisant les abscisses des intersections avec la courbe (solution de f(x)=kf(x)=kf(x)=k) ou les abscisses des portions de courbe situées en dessous (solution de f(x)<kf(x) < kf(x)<k)

Pour comprendre, fais des exercices !

En traçant la droite horizontale $y = k$ , puis en lisant les abscisses des intersections avec la courbe (solution de $f(x)=k$ ) ou les abscisses des portions de courbe situées en dessous (solution de $f(x) < k$ )