Comment additionner deux vecteurs ? | MetMat

Comment additionner deux vecteurs ?

En construisant géométriquement la somme par la règle du parallélogramme ou en mettant les vecteurs bout à bout

Construire géométriquement le vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$ à l'aide d'une figure.

L'objectif

Construire géométriquement le vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$ à l'aide d'une figure.

Le principe

On peut placer les vecteurs bout à bout (méthode de la chaîne) ou construire le parallélogramme dont ils sont deux côtés adjacents ; la diagonale donne la somme.

La méthode

1
Choisir une méthode : bout à bout (placer $\vec{v}$ à partir de l'extrémité de $\vec{u}$ ) ou parallélogramme (placer $\vec{u}$ et $\vec{v}$ depuis un même point $O$ ).
2
Méthode bout à bout : tracer $\vec{u}$ à partir d'un point $A$ , puis tracer $\vec{v}$ à partir de l'extrémité $B$ de $\vec{u}$ . Le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ est $\overrightarrow{AC}$ où $C$ est l'extrémité de $\vec{v}$ .
3
Méthode du parallélogramme : tracer $\vec{u}$ et $\vec{v}$ depuis un même point $O$ , compléter le parallélogramme ; la diagonale issue de $O$ est le vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Construire $\vec{u} + \vec{v}$ par la méthode bout à bout, avec $\vec{u}(3\,;\,1)$ et $\vec{v}(1\,;\,3)$ .

Étape 1 —

Choisir une méthode : bout à bout (placer

\vec{v}

à partir de l'extrémité de

\vec{u}

) ou parallélogramme (placer

\vec{u}

\vec{v}

depuis un même point

O

On choisit la méthode bout à bout. On place $\vec{u}$ à partir d'un point $A$ .

Étape 2 —

Méthode bout à bout : tracer

\vec{u}

à partir d'un point

A

, puis tracer

\vec{v}

à partir de l'extrémité

B

\vec{u}

. Le vecteur

\vec{u}+\vec{v}

est

\overrightarrow{AC}

où

C

est l'extrémité de

\vec{v}

On trace $\vec{u}(3\,;\,1)$ depuis $A$ : on arrive en $B = A + (3\,;\,1)$ . On trace ensuite $\vec{v}(1\,;\,3)$ depuis $B$ : on arrive en $C = B + (1\,;\,3)$ .

Étape 3 —

Méthode du parallélogramme : tracer

\vec{u}

\vec{v}

depuis un même point

O

, compléter le parallélogramme ; la diagonale issue de

O

est le vecteur somme

\vec{u} + \vec{v}

Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ représente $\vec{u} + \vec{v}$ . Par le calcul : $(3+1\,;\,1+3) = (4\,;\,4)$ .

$\vec{u} + \vec{v} = (4\,;\,4)$ , confirmé par la construction bout à bout.

Application guidée

Construire $\vec{a} + \vec{b}$ par la règle du parallélogramme, avec $\vec{a}(2\,;\,0)$ et $\vec{b}(0\,;\,3)$ .

Application autonome 1

En utilisant la relation de Chasles, montrer que $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ géométriquement.

Application autonome 2

Dans un parallélogramme $ABCD$ , construire géométriquement le vecteur $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ en utilisant la règle du parallélogramme.

Application autonome 3

Construire $\vec{u} + \vec{v}$ par la méthode bout à bout, avec $\vec{u}(-2\,;\,1)$ et $\vec{v}(3\,;\,2)$ .

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