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Comment calculer la dérivée d'une fonction faisant intervenir sin⁡\sin ou cos⁡\cos ?

En utilisant (sin⁡u)′=u′cos⁡u(\sin u)' = u'\cos u et (cos⁡u)′=−u′sin⁡u(\cos u)' = -u'\sin u (formules de la composée), avec identification claire de uu

L'objectif

Calculer la dérivée de toute expression faisant intervenir sin⁡\sin ou cos⁡\cos d'une expression.

Le principe

La dérivée d'une composée g∘ug \circ u suit la règle de la chaîne : (sin⁡u)′=u′cos⁡u(\sin u)' = u' \cos u et (cos⁡u)′=−u′sin⁡u(\cos u)' = -u' \sin u, où uu est une fonction dérivable.

La méthode
  1. 1
    Identifier la nature de la fonction : est-ce une composée sin⁡(u(x))\sin(u(x)) ou cos⁡(u(x))\cos(u(x)) ? Est-ce un produit, un quotient, une somme impliquant sin⁡\sin ou cos⁡\cos ?
  2. 2
    Identifier uu : repérer l'expression à l'intérieur de sin⁡\sin ou cos⁡\cos et calculer sa dérivée u′u'.
  3. 3
    Appliquer la formule : (sin⁡u)′=u′cos⁡u(\sin u)' = u' \cos u ou (cos⁡u)′=−u′sin⁡u(\cos u)' = -u' \sin u. Si la fonction est un produit ou une somme, appliquer les règles correspondantes en combinant.
  4. 4
    Simplifier l'expression obtenue si possible (factoriser, développer, utiliser des identités trigonométriques).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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