Comment calculer la dérivée d'une fonction faisant intervenir $\sin$ ou $\cos$ ? | MetMat

Comment calculer la dérivée d'une fonction faisant intervenir $\sin$ ou $\cos$ ?

En utilisant $(\sin u)' = u'\cos u$ et $(\cos u)' = -u'\sin u$ (formules de la composée), avec identification claire de $u$

Calculer la dérivée de toute expression faisant intervenir $\sin$ ou $\cos$ d'une expression.

L'objectif

Calculer la dérivée de toute expression faisant intervenir $\sin$ ou $\cos$ d'une expression.

Le principe

La dérivée d'une composée $g \circ u$ suit la règle de la chaîne : $(\sin u)' = u' \cos u$ et $(\cos u)' = -u' \sin u$ , où $u$ est une fonction dérivable.

La méthode

1
Identifier la nature de la fonction : est-ce une composée $\sin(u(x))$ ou $\cos(u(x))$ ? Est-ce un produit, un quotient, une somme impliquant $\sin$ ou $\cos$ ?
2
Identifier $u$ : repérer l'expression à l'intérieur de $\sin$ ou $\cos$ et calculer sa dérivée $u'$ .
3
Appliquer la formule : $(\sin u)' = u' \cos u$ ou $(\cos u)' = -u' \sin u$ . Si la fonction est un produit ou une somme, appliquer les règles correspondantes en combinant.
4
Simplifier l'expression obtenue si possible (factoriser, développer, utiliser des identités trigonométriques).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$ .

Étape 1 —

Identifier la nature de la fonction : est-ce une composée

\sin(u(x))

\cos(u(x))

? Est-ce un produit, un quotient, une somme impliquant

\sin

\cos

La fonction est de la forme $\sin(u(x))$ .

Étape 2 —

Identifier $u$ : repérer l'expression à l'intérieur de

\sin

\cos

et calculer sa dérivée

u'

On pose $u(x) = 2x + \dfrac{\pi}{3}$ , donc $u'(x) = 2$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule :

(\sin u)' = u' \cos u

(\cos u)' = -u' \sin u

. Si la fonction est un produit ou une somme, appliquer les règles correspondantes en combinant.

On applique $(\sin u)' = u' \cos u$ : $f'(x) = 2 \cos\!\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ .

Étape 4 —

Simplifier l'expression obtenue si possible (factoriser, développer, utiliser des identités trigonométriques).

L'expression est déjà simplifiée.

$f'(x) = 2\cos\!\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$

Application guidée

Calculer la dérivée de $f(x) = \cos^2 x$ .

Application autonome 1

Calculer la dérivée de $f(x) = x\sin x$ .

Application autonome 2

Calculer la dérivée de $f(x) = \cos(x^2 - 1)$ .

Application autonome 3

Calculer la dérivée de $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ pour $x \neq 0$ .

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En utilisant (sin⁡u)′=u′cos⁡u(\sin u)' = u'\cos u(sinu)′=u′cosu et (cos⁡u)′=−u′sin⁡u(\cos u)' = -u'\sin u(cosu)′=−u′sinu (formules de la composée), avec identification claire de uuu

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $(\sin u)' = u'\cos u$ et $(\cos u)' = -u'\sin u$ (formules de la composée), avec identification claire de $u$