Comment calculer la dérivée d'une fonction faisant intervenir $\sin$ ou $\cos$ ?

En utilisant $(\sin u)' = u'\cos u$ et $(\cos u)' = -u'\sin u$ (formules de la composée), avec identification claire de $u$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer la dérivée de $f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$ .

La méthode

1
Identifier la nature de la fonction : est-ce une composée $\sin(u(x))$ ou $\cos(u(x))$ ? Est-ce un produit, un quotient, une somme impliquant $\sin$ ou $\cos$ ?
2
Identifier $u$ : repérer l'expression à l'intérieur de $\sin$ ou $\cos$ et calculer sa dérivée $u'$ .
3
Appliquer la formule : $(\sin u)' = u' \cos u$ ou $(\cos u)' = -u' \sin u$ . Si la fonction est un produit ou une somme, appliquer les règles correspondantes en combinant.
4
Simplifier l'expression obtenue si possible (factoriser, développer, utiliser des identités trigonométriques).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$ .

1

La fonction est de la forme $\sin(u(x))$ .

2

On pose $u(x) = 2x + \dfrac{\pi}{3}$ , donc $u'(x) = 2$ .

3

On applique $(\sin u)' = u' \cos u$ : $f'(x) = 2 \cos\!\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ .

4

L'expression est déjà simplifiée.

$f'(x) = 2\cos\!\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$

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Comment calculer la dérivée d'une fonction faisant intervenir sin⁡\sinsin ou cos⁡\coscos ?

En utilisant (sin⁡u)′=u′cos⁡u(\sin u)' = u'\cos u(sinu)′=u′cosu et (cos⁡u)′=−u′sin⁡u(\cos u)' = -u'\sin u(cosu)′=−u′sinu (formules de la composée), avec identification claire de uuu

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment calculer la dérivée d'une fonction faisant intervenir $\sin$ ou $\cos$ ?

En utilisant $(\sin u)' = u'\cos u$ et $(\cos u)' = -u'\sin u$ (formules de la composée), avec identification claire de $u$