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Comment calculer la limite d'une suite (convergente ou divergente) ?

En appliquant le théorème des gendarmes : encadrer unu_n entre deux suites ayant la même limite

L'objectif

Calculer la limite d'une suite en la prenant en étau entre deux suites convergentes vers la même valeur.

Le principe

Si vn≤un≤wnv_n \leq u_n \leq w_n pour tout n≥n0n \geq n_0 et si lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞wn=ℓ\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_n = \ell, alors lim⁡n→+∞un=ℓ\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell.

La méthode
  1. 1
    Identifier la limite ℓ\ell que l'on conjecture pour unu_n (souvent 00 ou une valeur simple).
  2. 2
    Construire un encadrement vn≤un≤wnv_n \leq u_n \leq w_n valable pour n≥n0n \geq n_0, en utilisant des inégalités classiques (∣sin⁡n∣≤1|\sin n| \leq 1, ∣cos⁡n∣≤1|\cos n| \leq 1, inégalités sur les suites, etc.).
  3. 3
    Vérifier que vn→ℓv_n \to \ell et wn→ℓw_n \to \ell (même limite pour les deux suites encadrantes).
  4. 4
    Conclure par le théorème des gendarmes : un→ℓu_n \to \ell.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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