En appliquant le théorème des gendarmes : encadrer $u_n$ entre deux suites ayant la même limite

Calculer la limite d'une suite en la prenant en étau entre deux suites convergentes vers la même valeur.

L'objectif

Calculer la limite d'une suite en la prenant en étau entre deux suites convergentes vers la même valeur.

Le principe

Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ pour tout $n \geq n_0$ et si $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_n = \ell$ , alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ .

La méthode

1
Identifier la limite $\ell$ que l'on conjecture pour $u_n$ (souvent $0$ ou une valeur simple).
2
Construire un encadrement $v_n \leq u_n \leq w_n$ valable pour $n \geq n_0$ , en utilisant des inégalités classiques ( $|\sin n| \leq 1$ , $|\cos n| \leq 1$ , inégalités sur les suites, etc.).
3
Vérifier que $v_n \to \ell$ et $w_n \to \ell$ (même limite pour les deux suites encadrantes).
4
Conclure par le théorème des gendarmes : $u_n \to \ell$ .
Comment appliquer le théorème des gendarmes à une suite ?Voir

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Exercice d'exemple

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin n}{n}$ .

Étape 1 —

Identifier la limite

\ell

que l'on conjecture pour

u_n

(souvent

0

ou une valeur simple).

On conjecture que la limite est $0$ (le $\sin n$ est borné, divisé par $n \to +\infty$ ).

Étape 2 —

Construire un encadrement

v_n \leq u_n \leq w_n

valable pour

n \geq n_0

, en utilisant des inégalités classiques (

|\sin n| \leq 1

|\cos n| \leq 1

, inégalités sur les suites, etc.).

Encadrement : $-1 \leq \sin n \leq 1$ , donc $\dfrac{-1}{n} \leq \dfrac{\sin n}{n} \leq \dfrac{1}{n}$ pour tout $n \geq 1$ .

Étape 3 —

Vérifier que

v_n \to \ell

w_n \to \ell

(même limite pour les deux suites encadrantes).

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{-1}{n} = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ : même limite.

Étape 4 —

Conclure par le théorème des gendarmes :

u_n \to \ell

Par le théorème des gendarmes, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin n}{n} = 0$ .

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin n}{n} = 0$ .

Application guidée

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^2 + 1}$ .

Application autonome 1

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n + \cos n}{n}$ .

Application autonome 2

Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\lfloor n^2 \cdot x \rfloor}{n^2} = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , où $\lfloor \cdot \rfloor$ est la partie entière.

Application autonome 3

Soit $u_n = \dfrac{n}{n^2 + 1}$ . Montrer par le théorème des gendarmes que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ .

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