Comment vérifier si un point appartient à une droite donnée par une représentation paramétrique ?

En résolvant le système paramétrique pour trouver $t$ à partir d'une coordonnée, puis en vérifiant la cohérence pour les autres coordonnées

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La droite $d$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ . Le point $M(3, 0, 7)$ appartient-il à $d$ ?

La méthode

1
À partir de l'une des équations paramétriques (celle avec le coefficient le plus simple), résoudre pour trouver la valeur candidate de $t$ .
2
Substituer cette valeur de $t$ dans les deux autres équations paramétriques et vérifier si les égalités sont satisfaites.
3
Conclure : si les trois équations sont satisfaites pour ce même $t$ , le point appartient à la droite ; sinon, il n'y appartient pas.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

La droite $d$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ . Le point $M(3, 0, 7)$ appartient-il à $d$ ?

1

De $x = 1 + t = 3$ , on tire $t = 2$ .

2

Pour $t = 2$ : $y = 2 - 2 = 0$ ✓ et $z = 3 + 4 = 7$ ✓.

3

Les trois équations sont vérifiées pour $t = 2$ , donc $M(3, 0, 7)$ appartient à $d$ .

$M(3, 0, 7) \in d$ (pour $t = 2$ )

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Comment vérifier si un point appartient à une droite donnée par une représentation paramétrique ?

En résolvant le système paramétrique pour trouver ttt à partir d'une coordonnée, puis en vérifiant la cohérence pour les autres coordonnées

Pour comprendre, passons aux exercices.

En résolvant le système paramétrique pour trouver $t$ à partir d'une coordonnée, puis en vérifiant la cohérence pour les autres coordonnées