Comment vérifier si un point appartient à une droite donnée par une représentation paramétrique ? | MetMat

Comment vérifier si un point appartient à une droite donnée par une représentation paramétrique ?

En résolvant le système paramétrique pour trouver $t$ à partir d'une coordonnée, puis en vérifiant la cohérence pour les autres coordonnées

Déterminer si un point $M(x_0, y_0, z_0)$ appartient à une droite donnée par sa représentation paramétrique.

L'objectif

Déterminer si un point $M(x_0, y_0, z_0)$ appartient à une droite donnée par sa représentation paramétrique.

Le principe

Un point appartient à la droite s'il existe un unique $t \in \mathbb{R}$ vérifiant simultanément les trois équations paramétriques.

La méthode

1
À partir de l'une des équations paramétriques (celle avec le coefficient le plus simple), résoudre pour trouver la valeur candidate de $t$ .
2
Substituer cette valeur de $t$ dans les deux autres équations paramétriques et vérifier si les égalités sont satisfaites.
3
Conclure : si les trois équations sont satisfaites pour ce même $t$ , le point appartient à la droite ; sinon, il n'y appartient pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

La droite $d$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ . Le point $M(3, 0, 7)$ appartient-il à $d$ ?

Étape 1 —

À partir de l'une des équations paramétriques (celle avec le coefficient le plus simple), résoudre pour trouver la valeur candidate de

t

De $x = 1 + t = 3$ , on tire $t = 2$ .

Étape 2 —

Substituer cette valeur de

t

dans les deux autres équations paramétriques et vérifier si les égalités sont satisfaites.

Pour $t = 2$ : $y = 2 - 2 = 0$ ✓ et $z = 3 + 4 = 7$ ✓.

Étape 3 —

Conclure : si les trois équations sont satisfaites pour ce même

t

, le point appartient à la droite ; sinon, il n'y appartient pas.

Les trois équations sont vérifiées pour $t = 2$ , donc $M(3, 0, 7)$ appartient à $d$ .

$M(3, 0, 7) \in d$ (pour $t = 2$ )

Application guidée

La droite $d$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ . Le point $N(2, 1, 6)$ appartient-il à $d$ ?

Application autonome 1

La droite $d$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 2t \\ y = 1 + t \\ z = 3 - t \end{cases}$ . Le point $P(4, 3, 1)$ appartient-il à $d$ ?

Application autonome 2

La droite $d$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 - 3t \end{cases}$ . Le point $Q(5, 1, -4)$ appartient-il à $d$ ?

Application autonome 3

La droite $d$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 + 2t \\ z = -2 + t \end{cases}$ . Le point $R(3, 5, 0)$ appartient-il à $d$ ? Et le point $S(2, 5, 0)$ ?

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En résolvant le système paramétrique pour trouver ttt à partir d'une coordonnée, puis en vérifiant la cohérence pour les autres coordonnées

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En résolvant le système paramétrique pour trouver $t$ à partir d'une coordonnée, puis en vérifiant la cohérence pour les autres coordonnées