En appliquant les théorèmes d'opérations sur les limites (somme, produit, quotient) et les limites de référence

Calculer la limite d'une suite en la décomposant en opérations élémentaires dont les limites sont connues.

L'objectif

Calculer la limite d'une suite en la décomposant en opérations élémentaires dont les limites sont connues.

Le principe

La limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient est (quand ce n'est pas une forme indéterminée) la somme, le produit ou le quotient des limites ; en cas de forme indéterminée, on transforme l'expression (factorisation, mise en facteur du terme dominant).

La méthode

1
Identifier la nature de la suite (polynomiale, rationnelle, avec racines, exponentielle, etc.) et repérer les limites de référence applicables.
2
Si l'expression présente une forme indéterminée ( $\infty - \infty$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ , $0 \times \infty$ , etc.), lever l'indétermination : mettre en facteur le terme dominant pour une fraction, conjuguer pour les racines.
3
Appliquer les théorèmes d'opérations sur les limites (somme, produit, quotient) sur l'expression simplifiée.
4
Conclure en précisant si la suite converge (limite finie) ou diverge (limite infinie ou absence de limite).

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Exercice d'exemple

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3n^2 - 2n + 1}{n^2 + 5}$ .

Étape 1 —

Identifier la nature de la suite (polynomiale, rationnelle, avec racines, exponentielle, etc.) et repérer les limites de référence applicables.

C'est une fraction rationnelle en $n$ : forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ .

Étape 2 —

Si l'expression présente une forme indéterminée (

\infty - \infty

\dfrac{\infty}{\infty}

0 \times \infty

, etc.), lever l'indétermination : mettre en facteur le terme dominant pour une fraction, conjuguer pour les racines.

On met en facteur $n^2$ au numérateur et au dénominateur : $\dfrac{3n^2 - 2n + 1}{n^2 + 5} = \dfrac{n^2(3 - 2/n + 1/n^2)}{n^2(1 + 5/n^2)} = \dfrac{3 - 2/n + 1/n^2}{1 + 5/n^2}$ .

Étape 3 —

Appliquer les théorèmes d'opérations sur les limites (somme, produit, quotient) sur l'expression simplifiée.

$\dfrac{1}{n} \to 0$ et $\dfrac{1}{n^2} \to 0$ , donc le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $1$ .

Étape 4 —

Conclure en précisant si la suite converge (limite finie) ou diverge (limite infinie ou absence de limite).

La suite converge vers $3$ .

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3n^2 - 2n + 1}{n^2 + 5} = 3$ .

Application guidée

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ .

Application autonome 1

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^3 - n}{2n^3 + 1}$ .

Application autonome 2

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{e^n}{n^2}$ .

Application autonome 3

Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^n$ en utilisant que $\ln\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) \sim \dfrac{2}{n}$ .

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