En résolvant le système $\vec{w} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2} + z\vec{e_3}$ par identification des coordonnées

Trouver les coordonnées $(x, y, z)$ d'un vecteur $\vec{w}$ dans une base $( \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} )$ en résolvant le système issu de l'identification.

L'objectif

Trouver les coordonnées $(x, y, z)$ d'un vecteur $\vec{w}$ dans une base $( \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} )$ en résolvant le système issu de l'identification.

Le principe

Dans une base, tout vecteur admet une unique décomposition ; l'identification coordonnée par coordonnée fournit un système de Cramer (déterminant non nul si la base est bien une base).

La méthode

1
Je pose $\vec{w} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2} + z\vec{e_3}$ et j'écris les coordonnées de chaque vecteur dans le repère canonique.
2
J'identifie les coordonnées : j'obtiens un système de 3 équations à 3 inconnues $x$ , $y$ , $z$ .
3
Je résous le système par la méthode du pivot (ou substitution) en cherchant à éliminer les inconnues une à une.
4
Je vérifie la solution dans chaque équation, puis je conclus en écrivant les coordonnées de $\vec{w}$ dans la base.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $\vec{e_1} = (1, 1)$ et $\vec{e_2} = (1, -1)$ formant une base du plan. Décomposer $\vec{w} = (4, 2)$ dans cette base.

Étape 1 —

Je pose

\vec{w} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2} + z\vec{e_3}

et j'écris les coordonnées de chaque vecteur dans le repère canonique.

Je pose $(4, 2) = x(1, 1) + y(1, -1)$ .

Étape 2 —

J'identifie les coordonnées : j'obtiens un système de 3 équations à 3 inconnues

x

y

z

J'identifie : $\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$ .

Étape 3 —

Je résous le système par la méthode du pivot (ou substitution) en cherchant à éliminer les inconnues une à une.

Addition des deux équations : $2x = 6 \Rightarrow x = 3$ . Puis $y = 4 - 3 = 1$ .

Étape 4 —

Je vérifie la solution dans chaque équation, puis je conclus en écrivant les coordonnées de

\vec{w}

dans la base.

Vérification : $3(1,1) + 1(1,-1) = (3,3) + (1,-1) = (4,2)$ ✓. Les coordonnées de $\vec{w}$ dans la base sont $(3, 1)$ .

$\vec{w} = 3\vec{e_1} + \vec{e_2}$ , soit les coordonnées $(3, 1)$ dans la base $(\vec{e_1}, \vec{e_2})$ .

Application guidée

Soient $\vec{e_1} = (1, 0, 1)$ , $\vec{e_2} = (0, 1, 1)$ , $\vec{e_3} = (1, 1, 0)$ une base de l'espace. Décomposer $\vec{w} = (3, 5, 4)$ dans cette base.

Application autonome 1

Soient $\vec{e_1} = (2, 1)$ et $\vec{e_2} = (1, 3)$ une base du plan. Décomposer $\vec{w} = (0, 5)$ dans cette base.

Application autonome 2

Soient $\vec{e_1} = (1, 1, 0)$ , $\vec{e_2} = (0, 1, 1)$ , $\vec{e_3} = (1, 0, 1)$ une base de l'espace. Décomposer $\vec{w} = (2, 3, 1)$ dans cette base.

Application autonome 3

Soient $\vec{e_1} = (3, 1)$ et $\vec{e_2} = (1, 2)$ une base du plan. Décomposer $\vec{w} = (7, 4)$ dans cette base.

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En résolvant le système w⃗=xe1⃗+ye2⃗+ze3⃗\vec{w} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2} + z\vec{e_3}w=xe1​​+ye2​​+ze3​​ par identification des coordonnées

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En résolvant le système $\vec{w} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2} + z\vec{e_3}$ par identification des coordonnées