Comment décomposer un vecteur dans une base donnée ?

En résolvant le système $\vec{w} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2} + z\vec{e_3}$ par identification des coordonnées

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $\vec{e_1} = (1, 1)$ et $\vec{e_2} = (1, -1)$ formant une base du plan. Décomposer $\vec{w} = (4, 2)$ dans cette base.

La méthode

1
Je pose $\vec{w} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2} + z\vec{e_3}$ et j'écris les coordonnées de chaque vecteur dans le repère canonique.
2
J'identifie les coordonnées : j'obtiens un système de 3 équations à 3 inconnues $x$ , $y$ , $z$ .
3
Je résous le système par la méthode du pivot (ou substitution) en cherchant à éliminer les inconnues une à une.
4
Je vérifie la solution dans chaque équation, puis je conclus en écrivant les coordonnées de $\vec{w}$ dans la base.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soient $\vec{e_1} = (1, 1)$ et $\vec{e_2} = (1, -1)$ formant une base du plan. Décomposer $\vec{w} = (4, 2)$ dans cette base.

1

Je pose $(4, 2) = x(1, 1) + y(1, -1)$ .

2

J'identifie : $\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$ .

3

Addition des deux équations : $2x = 6 \Rightarrow x = 3$ . Puis $y = 4 - 3 = 1$ .

4

Vérification : $3(1,1) + 1(1,-1) = (3,3) + (1,-1) = (4,2)$ ✓. Les coordonnées de $\vec{w}$ dans la base sont $(3, 1)$ .

$\vec{w} = 3\vec{e_1} + \vec{e_2}$ , soit les coordonnées $(3, 1)$ dans la base $(\vec{e_1}, \vec{e_2})$ .

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Comment décomposer un vecteur dans une base donnée ?

En résolvant le système w⃗=xe1⃗+ye2⃗+ze3⃗\vec{w} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2} + z\vec{e_3}w=xe1​​+ye2​​+ze3​​ par identification des coordonnées

Pour comprendre, passons aux exercices.

En résolvant le système $\vec{w} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2} + z\vec{e_3}$ par identification des coordonnées