Comment décrire la position relative d'une droite et d'un plan ? | MetMat

Comment décrire la position relative d'une droite et d'un plan ?

En vérifiant si le vecteur directeur de la droite est dans la direction du plan (droite parallèle ou incluse), sinon en cherchant l'intersection (droite sécante)

Déterminer si une droite est parallèle, incluse dans, ou sécante à un plan, et trouver le point d'intersection le cas échéant.

L'objectif

Déterminer si une droite est parallèle, incluse dans, ou sécante à un plan, et trouver le point d'intersection le cas échéant.

Le principe

La droite est parallèle au plan (ou incluse) si et seulement si son vecteur directeur est combinaison linéaire des vecteurs directeurs du plan ; sinon, elle est sécante au plan.

La méthode

1
Je dispose de la droite (point $A$ , vecteur directeur $\vec{u}$ ) et du plan (point $P$ , vecteurs $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ ) ou équation cartésienne $ax + by + cz = d$ .
2
Je teste si $\vec{u}$ est combinaison linéaire de $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ (ou si $\vec{u}$ vérifie $a u_x + b u_y + c u_z = 0$ ). Si oui, la droite est parallèle au plan ou incluse dedans.
3
Si la droite est parallèle au plan, je vérifie si le point $A$ appartient au plan pour distinguer droite incluse (oui) de droite strictement parallèle (non).
4
Si $\vec{u}$ n'est pas dans la direction du plan, la droite est sécante : je substitue la paramétrisation $A + t\vec{u}$ dans l'équation du plan pour trouver $t$ , puis le point d'intersection.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

La droite $d : (x,y,z) = (1,0,0) + t(1,1,1)$ est-elle parallèle, incluse dans, ou sécante au plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y - 2z = 0$ ?

Étape 1 —

Je dispose de la droite (point

A

, vecteur directeur

\vec{u}

) et du plan (point

P

, vecteurs

\vec{v_1}

\vec{v_2}

) ou équation cartésienne

ax + by + cz = d

$A = (1,0,0)$ , $\vec{u} = (1,1,1)$ et $\mathcal{P} : x + y - 2z = 0$ .

Étape 2 —

Je teste si

\vec{u}

est combinaison linéaire de

\vec{v_1}

\vec{v_2}

(ou si

\vec{u}

vérifie

a u_x + b u_y + c u_z = 0

). Si oui, la droite est parallèle au plan ou incluse dedans.

Je teste $\vec{u}$ dans la direction du plan : $1 \times 1 + 1 \times 1 + (-2) \times 1 = 1 + 1 - 2 = 0$ . Le vecteur directeur est dans la direction du plan.

Étape 3 —

Si la droite est parallèle au plan, je vérifie si le point

A

appartient au plan pour distinguer droite incluse (oui) de droite strictement parallèle (non).

Je vérifie si $A$ appartient au plan : $1 + 0 - 2 \times 0 = 1 \neq 0$ . $A$ n'est pas dans le plan.

Étape 4 —

\vec{u}

n'est pas dans la direction du plan, la droite est sécante : je substitue la paramétrisation

A + t\vec{u}

dans l'équation du plan pour trouver

t

, puis le point d'intersection.

$\vec{u}$ est dans la direction du plan mais $A \notin \mathcal{P}$ : la droite est strictement parallèle au plan.

La droite $d$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$ .

Application guidée

La droite $d : (x,y,z) = (1,1,1) + t(1,-1,0)$ est-elle parallèle, incluse dans, ou sécante au plan $\mathcal{P} : x + y = 2$ ?

Application autonome 1

La droite $d : (x,y,z) = (0,0,0) + t(1,1,1)$ est-elle parallèle, incluse dans, ou sécante au plan $\mathcal{P} : x + y + z = 3$ ?

Application autonome 2

La droite $d : (x,y,z) = (2,0,1) + t(1,2,-1)$ est-elle parallèle, incluse dans, ou sécante au plan $\mathcal{P} : 2x - y + z = 3$ ?

Application autonome 3

La droite $d : (x, y, z) = (1, 2, 0) + t(1, 1, 1)$ est-elle parallèle, incluse dans, ou sécante au plan $\mathcal{P} : x - y + z = -1$ ?

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