Comment décrire la position… : En vérifiant si le vecteur directeur de… — Tle spé maths | MetMat

Comment décrire la position relative d'une droite et d'un plan ?

En vérifiant si le vecteur directeur de la droite est dans la direction du plan (droite parallèle ou incluse), sinon en cherchant l'intersection (droite sécante)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La droite $d : (x,y,z) = (1,0,0) + t(1,1,1)$ est-elle parallèle, incluse dans, ou sécante au plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y - 2z = 0$ ?

La méthode

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Je dispose de la droite (point $A$ , vecteur directeur $\vec{u}$ ) et du plan (point $P$ , vecteurs $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ ) ou équation cartésienne $ax + by + cz = d$ .
2
Je teste si $\vec{u}$ est combinaison linéaire de $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ (ou si $\vec{u}$ vérifie $a u_x + b u_y + c u_z = 0$ ). Si oui, la droite est parallèle au plan ou incluse dedans.
3
Si la droite est parallèle au plan, je vérifie si le point $A$ appartient au plan pour distinguer droite incluse (oui) de droite strictement parallèle (non).
4
Si $\vec{u}$ n'est pas dans la direction du plan, la droite est sécante : je substitue la paramétrisation $A + t\vec{u}$ dans l'équation du plan pour trouver $t$ , puis le point d'intersection.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

La droite $d : (x,y,z) = (1,0,0) + t(1,1,1)$ est-elle parallèle, incluse dans, ou sécante au plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y - 2z = 0$ ?

$A = (1,0,0)$ , $\vec{u} = (1,1,1)$ et $\mathcal{P} : x + y - 2z = 0$ .

Je teste $\vec{u}$ dans la direction du plan : $1 \times 1 + 1 \times 1 + (-2) \times 1 = 1 + 1 - 2 = 0$ . Le vecteur directeur est dans la direction du plan.

Je vérifie si $A$ appartient au plan : $1 + 0 - 2 \times 0 = 1 \neq 0$ . $A$ n'est pas dans le plan.

$\vec{u}$ est dans la direction du plan mais $A \notin \mathcal{P}$ : la droite est strictement parallèle au plan.

La droite $d$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$ .

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