En appliquant la relation de Pascal dans une preuve par récurrence ou une identité combinatoire

Démontrer une identité ou une propriété faisant intervenir des coefficients binomiaux en substituant la relation de Pascal.

L'objectif

Démontrer une identité ou une propriété faisant intervenir des coefficients binomiaux en substituant la relation de Pascal.

Le principe

La relation de Pascal permet de ramener des coefficients d'indice $n$ à des coefficients d'indice $n-1$ , ce qui est le cœur d'une récurrence ou d'une simplification algébrique.

La méthode

1
Repérer dans l'expression à démontrer un coefficient $\binom{n}{k}$ que l'on peut décomposer en $\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ .
Comment calculer un coefficient binomial $\binom{n}{k}$ ?Voir
2
Substituer la relation de Pascal et réorganiser l'expression obtenue (regrouper les termes, reconnaître d'autres coefficients binomiaux).
Comment utiliser la relation de Pascal et le triangle de Pascal ?Voir
3
Conclure en vérifiant que l'expression simplifiée correspond bien au résultat attendu ou au rang $n-1$ de la récurrence.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Démontrer que $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ pour $0 \leq k < n$ .

Étape 1 —

Repérer dans l'expression à démontrer un coefficient

\binom{n}{k}

que l'on peut décomposer en

\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

On reconnaît dans le membre droit $\binom{n+1}{k+1}$ , que l'on peut décomposer par Pascal avec $n' = n+1$ , $k' = k+1$ : $\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$ .

Étape 2 —

Substituer la relation de Pascal et réorganiser l'expression obtenue (regrouper les termes, reconnaître d'autres coefficients binomiaux).

La substitution donne directement $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$ , ce qui est identiquement vrai.

Étape 3 —

Conclure en vérifiant que l'expression simplifiée correspond bien au résultat attendu ou au rang

n-1

de la récurrence.

L'identité est démontrée : elle n'est autre que la relation de Pascal réécrite.

L'identité $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ est exactement la relation de Pascal.

Application guidée

Montrer par récurrence que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ .

Application autonome 1

Calculer $\binom{8}{3}$ en décomposant avec Pascal à partir de la ligne $7$ .

Application autonome 2

Démontrer par récurrence que pour tout $n \geq 1$ , $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\dbinom{n}{k} = n \cdot 2^{n-1}$ .

Application autonome 3

Démontrer à l'aide de la relation de Pascal que $\dbinom{n+2}{k+1} = \dbinom{n}{k-1} + 2\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1}$ pour $1 \leq k \leq n-1$ .

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