Comment déterminer l'équation cartésienne d'un plan ?

En identifiant un vecteur normal $\vec{n}=(a,b,c)$ et un point $A$ , puis en écrivant $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par $A(1, 2, 3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2, -1, 3)$ .

La méthode

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Identifier un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ au plan (orthogonal à tous les vecteurs du plan).
Comment trouver un vecteur normal à un plan ?Voir
2
Identifier un point $A(x_A, y_A, z_A)$ appartenant au plan.
3
Écrire $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$ , puis développer pour obtenir la forme $ax + by + cz + d = 0$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par $A(1, 2, 3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2, -1, 3)$ .

1

Le vecteur normal est $\vec{n}(2, -1, 3)$ , donc $a = 2$ , $b = -1$ , $c = 3$ .

2

Le point $A(1, 2, 3)$ appartient au plan.

3

$2(x-1) + (-1)(y-2) + 3(z-3) = 0 \Rightarrow 2x - 2 - y + 2 + 3z - 9 = 0 \Rightarrow 2x - y + 3z - 9 = 0$ .

$2x - y + 3z - 9 = 0$

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Comment déterminer l'équation cartésienne d'un plan ?

En identifiant un vecteur normal n⃗=(a,b,c)\vec{n}=(a,b,c)n=(a,b,c) et un point AAA, puis en écrivant a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0a(x−xA​)+b(y−yA​)+c(z−zA​)=0

Pour comprendre, passons aux exercices.

En identifiant un vecteur normal $\vec{n}=(a,b,c)$ et un point $A$ , puis en écrivant $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$