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Comment résoudre une inéquation trigonométrique sur [−π,π][-\pi,\pi] ?

En résolvant d'abord l'équation associée pour trouver les bornes, puis en déterminant les intervalles solutions à partir des variations de sin⁡\sin ou cos⁡\cos sur [−π,π][-\pi,\pi]

L'objectif

Déterminer l'ensemble des réels de [−π;π][-\pi ; \pi] vérifiant une inéquation trigonométrique.

Le principe

On se ramène à l'équation associée pour trouver les valeurs critiques (bornes), puis on lit le signe de la fonction sur chaque sous-intervalle à partir de son tableau de variations sur [−π;π][-\pi ; \pi].

La méthode
  1. 1
    Résoudre l'équation associée cos⁡x=a\cos x = a (ou sin⁡x=a\sin x = a) sur [−π;π][-\pi ; \pi] pour trouver les valeurs critiques x1x_1 et x2x_2 qui délimitent les intervalles.
    Voir
  2. 2
    Rappeler les variations de la fonction sur [−π;π][-\pi ; \pi] : cos⁡\cos est croissante sur [−π;0][-\pi ; 0] et décroissante sur [0;π][0 ; \pi] ; sin⁡\sin est croissante sur [−π2;π2]\left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right] et décroissante sur [−π;−π2]\left[-\pi ; -\dfrac{\pi}{2}\right] et [π2;π]\left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right].
  3. 3
    Dresser ou exploiter le tableau de variations pour déterminer sur quels sous-intervalles la fonction est supérieure (ou inférieure) à aa.
  4. 4
    Conclure en exprimant l'ensemble solution sous forme d'union d'intervalles sur [−π;π][-\pi ; \pi].

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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