Comment résoudre une inéquation trigonométrique sur $[-\pi,\pi]$ ?

Équation associée : $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur $[-\pi ; \pi]$. Solution principale : $x_0 = \dfrac{\pi}{3}$. Les solutions sont $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = -\dfrac{\pi}{3}$.

Sur $[-\pi ; \pi]$, $\cos$ est croissante sur $[-\pi ; 0]$ et décroissante sur $[0 ; \pi]$, avec $\cos(-\pi) = -1$, $\cos(0) = 1$, $\cos(\pi) = -1$.

Le cosinus vaut $\dfrac{1}{2}$ en $-\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$. Comme $\cos$ est croissante sur $[-\pi ; 0]$, $\cos x \geq \dfrac{1}{2}$ pour $x \in \left[-\dfrac{\pi}{3} ; 0\right]$. Comme $\cos$ est décroissante sur $[0 ; \pi]$, $\cos x \geq \dfrac{1}{2}$ pour $x \in \left[0 ; \dfrac{\pi}{3}\right]$.

En réunissant : $\cos x \geq \dfrac{1}{2}$ sur $\left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3}\right]$.