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Comment calculer des limites faisant intervenir ln⁡\ln (dont xln⁡xx\ln x en 00) ?

En utilisant les croissances comparées : xαln⁡x→0x^\alpha \ln x \to 0 en 0+0^+ pour α>0\alpha > 0, et ln⁡xxα→0\dfrac{\ln x}{x^\alpha} \to 0 en +∞+\infty

L'objectif

Lever une forme indéterminée faisant intervenir ln⁡x\ln x en 0+0^+ ou en +∞+\infty en utilisant les résultats de croissances comparées.

Le principe

Pour tout α>0\alpha > 0 : lim⁡x→0+xαln⁡x=0\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = 0 et lim⁡x→+∞ln⁡xxα=0\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^\alpha} = 0 (le logarithme est "négligeable" devant toute puissance).

La méthode
  1. 1
    Identifier la forme indéterminée : 0×(−∞)0 \times (-\infty) en 0+0^+ ou ∞∞\dfrac{\infty}{\infty} en +∞+\infty.
  2. 2
    Réécrire l'expression sous la forme xαln⁡xx^\alpha \ln x (en 0+0^+) ou ln⁡xxα\dfrac{\ln x}{x^\alpha} (en +∞+\infty) avec α>0\alpha > 0.
  3. 3
    Appliquer directement le théorème de croissances comparées : la limite est 00.
  4. 4
    Conclure sur la limite de la fonction initiale en précisant le résultat obtenu.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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