Comment démontrer une inégalité à l'aide de la convexité d'une fonction ?

$f(x) = e^x$ vérifie $f''(x) = e^x > 0$, donc $f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$.

On choisit les points d'abscisses $a$ et $b$, et on prend $t = \dfrac{1}{2}$ dans l'inégalité de convexité $f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y)$.

Avec $t = \dfrac{1}{2}$, $x = a$, $y = b$ : $f\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \leq \dfrac{f(a) + f(b)}{2}$, soit $e^{\frac{a+b}{2}} \leq \dfrac{e^a + e^b}{2}$.

Donc pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ : $e^{\frac{a+b}{2}} \leq \dfrac{e^a + e^b}{2}$, avec égalité si et seulement si $a = b$. Cela exprime que la moyenne géométrique de $e^a$ et $e^b$ est inférieure à leur moyenne arithmétique.