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Comment démontrer une inégalité à l'aide de la convexité d'une fonction ?

En utilisant que la courbe de ff convexe est au-dessus de ses sécantes (définition géométrique de la convexité)

L'objectif

Démontrer des inégalités en utilisant la propriété que la courbe d'une fonction convexe est en-dessous de ses cordes (sécantes).

Le principe

Si ff est convexe sur [a,b][a, b], alors pour tout x∈[a,b]x \in [a, b] : f(x)≤f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)f(x) \leq f(a) + \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) (la courbe est en-dessous de la sécante). Cela équivaut à : pour tous x,y∈Ix, y \in I et t∈[0,1]t \in [0,1], f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y)f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y).

La méthode
  1. 1
    Identifier la fonction ff et montrer qu'elle est convexe sur l'intervalle considéré en calculant f′′f'' et en vérifiant f′′≥0f'' \geq 0.
    Voir
  2. 2
    Choisir les deux points aa et bb (extrémités de la sécante) de façon que la droite reliant (a,f(a))(a, f(a)) et (b,f(b))(b, f(b)) donne l'inégalité souhaitée.
  3. 3
    Écrire l'équation de la sécante passant par (a,f(a))(a, f(a)) et (b,f(b))(b, f(b)) : y=f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)y = f(a) + \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a), puis appliquer l'inégalité des sécantes : pour ff convexe, f(x)≤yf(x) \leq y pour x∈[a,b]x \in [a, b].
  4. 4
    Simplifier l'inégalité obtenue et conclure en précisant les conditions d'égalité et l'ensemble de validité.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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