Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?

En développant par bilinéarité ou par la formule de polarisation $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Exemple 1 — Triangle équilatéral de côté 2

La méthode

1
Identifier les trois longueurs $AB$ , $AC$ et $BC$ du triangle (données ou à calculer avec la formule de distance).
Comment calculer la distance entre deux points de l'espace ?Voir
2
Appliquer la formule de polarisation : $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \dfrac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$ .
Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?Voir
3
Calculer $AB^2$ , $AC^2$ , $BC^2$ , puis effectuer l'opération pour obtenir la valeur du produit scalaire.
Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?Voir

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Exemple 1 — Triangle équilatéral de côté 2

1

Dans le triangle équilatéral $ABC$ de côté $2$ : $AB = AC = BC = 2$ .

2

On applique : $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}(4 + 4 - 4) = \frac{1}{2}\times 4$ .

3

Donc $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 2$ . (Cohérence : $\cos 60° = \frac{1}{2}$ , norme $2$ , donc produit $= 4 \times \frac{1}{2} = 2$ .)

$\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 2$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer un angle entre deux vecteurs, deux droites ou deux plans ?

Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan ?

Comment calculer la distance d'un point à une droite ou à un plan ?

Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?

En développant par bilinéarité ou par la formule de polarisation AB⃗⋅AC⃗=12(AB2+AC2−BC2)\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)AB⋅AC=21​(AB2+AC2−BC2)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En développant par bilinéarité ou par la formule de polarisation $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$