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Orthogonalité et distances dans l'espace — cours et méthodes Tle spé… | MetMat
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Terminale Spécialité Mathématiques
Terminale Spécialité Mathématiques
Orthogonalité et distances dans l'espace
Produit scalaire dans l'espace, orthogonalité de vecteurs, de droites et de plans, distances entre points.
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1
Maîtriser
Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?
En utilisant la formule analytique
u
⃗
⋅
v
⃗
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
+
z
1
z
2
\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2
u
⋅
v
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
+
z
1
z
2
dans un repère orthonormé
Nouveau
En utilisant
u
⃗
⋅
v
⃗
=
∥
u
⃗
∥
∥
v
⃗
∥
cos
θ
\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta
u
⋅
v
=
∥
u
∥
∥
v
∥
cos
θ
à partir des normes et de l'angle
Nouveau
En développant par bilinéarité ou par la formule de polarisation
A
B
⃗
⋅
A
C
⃗
=
1
2
(
A
B
2
+
A
C
2
−
B
C
2
)
\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)
A
B
⋅
A
C
=
2
1
(
A
B
2
+
A
C
2
−
B
C
2
)
Nouveau
Comment démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs ?
Nouveau
Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires dans l'espace ?
Nouveau
Comment démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan ?
En montrant que le vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan
Nouveau
En identifiant que le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan
Nouveau
Comment calculer la distance entre deux points de l'espace ?
Nouveau
Comment calculer un angle entre deux vecteurs, deux droites ou deux plans ?
Nouveau
Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?
Nouveau
Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan ?
Nouveau
Comment calculer la distance d'un point à une droite ou à un plan ?
En trouvant le projeté orthogonal
H
H
H
du point sur la droite ou le plan, puis en calculant
d
=
∥
M
0
H
⃗
∥
d = \|\vec{M_0H}\|
d
=
∥
M
0
H
∥
Nouveau
Pour un plan d'équation
a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=
0
ax+by+cz+d=0
a
x
+
b
y
+
cz
+
d
=
0
: en appliquant
d
=
∣
a
x
0
+
b
y
0
+
c
z
0
+
d
∣
a
2
+
b
2
+
c
2
d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
d
=
a
2
+
b
2
+
c
2
∣
a
x
0
+
b
y
0
+
c
z
0
+
d
∣
Nouveau
Comment calculer une aire ou un volume dans l'espace ?
En calculant l'aire d'un triangle via
A
=
1
2
∥
A
B
⃗
∥
×
h
\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\times h
A
=
2
1
∥
A
B
∥
×
h
ou
A
=
1
2
∥
A
B
⃗
∥
∥
A
C
⃗
∥
sin
θ
\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\sin\theta
A
=
2
1
∥
A
B
∥
∥
A
C
∥
sin
θ
Nouveau
En calculant le volume d'une pyramide ou d'un tétraèdre via
V
=
1
3
B
×
h
V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times h
V
=
3
1
B
×
h
(base × hauteur ÷ 3)
Nouveau
Reconnaître
Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.
Résoudre
Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.