Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?

En utilisant $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ à partir des normes et de l'angle

Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ lorsque l'angle $\theta$ entre les deux vecteurs et leurs normes sont connus ou facilement calculables.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Exemple 1 — Angle de $60°$

L'objectif

Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ lorsque l'angle $\theta$ entre les deux vecteurs et leurs normes sont connus ou facilement calculables.

Le principe

Pour tout couple de vecteurs non nuls, $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ où $\theta = (\widehat{\vec{u},\vec{v}}) \in [0;\pi]$ .

La méthode

1
Calculer la norme $\|\vec{u}\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$ et la norme $\|\vec{v}\| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}$ .
2
Identifier l'angle $\theta \in [0;\pi]$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (donné dans l'énoncé ou lu sur une figure géométrique).
3
Appliquer la formule : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ et calculer le résultat.
Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Exemple 1 — Angle de $60°$

Étape 1 —

Calculer la norme

\|\vec{u}\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}

et la norme

\|\vec{v}\| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}

.

On a $\|\vec{u}\| = 3$ et $\|\vec{v}\| = 4$ (données de l'énoncé).

Étape 2 —

Identifier l'angle

\theta \in [0;\pi]

entre

\vec{u}

et

\vec{v}

(donné dans l'énoncé ou lu sur une figure géométrique).

L'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est $\theta = 60°$ , donc $\cos 60° = \frac{1}{2}$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule :

\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta

et calculer le résultat.

On obtient $\vec{u}\cdot\vec{v} = 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 6$ .

$\vec{u}\cdot\vec{v} = 6$

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Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ à partir des normes et de l'angle