Comment calculer une aire ou un volume dans l'espace ?

En calculant l'aire d'un triangle via $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\times h$ ou $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\sin\theta$

Calculer l'aire du triangle $ABC$ dans l'espace à partir de ses coordonnées.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Exemple 1 — Triangle rectangle évident

L'objectif

Calculer l'aire du triangle $ABC$ dans l'espace à partir de ses coordonnées.

Le principe

L'aire d'un triangle est la moitié du produit de la base par la hauteur correspondante ; la hauteur s'obtient comme la distance du sommet à la droite support de la base.

La méthode

1
Choisir une base, par exemple $[AB]$ , et calculer sa longueur $\|\vec{AB}\|$ .
2
Calculer la hauteur $h$ issue de $C$ : trouver le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur la droite $(AB)$ , puis $h = \|\vec{CH}\|$ .
Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?Voir
3
Appliquer la formule : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\,\|\vec{AB}\|\times h$ .
Comment calculer une aire ou un volume dans l'espace ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Exemple 1 — Triangle rectangle évident

Étape 1 —

Choisir une base, par exemple

[AB]

, et calculer sa longueur

\|\vec{AB}\|

.

$A(0,0,0)$ , $B(4,0,0)$ , $C(0,3,0)$ . Base $AB$ : $\|\vec{AB}\| = 4$ .

Étape 2 —

Calculer la hauteur

h

issue de

C

: trouver le projeté orthogonal

H

de

C

sur la droite

(AB)

, puis

h = \|\vec{CH}\|

.

Projeté de $C(0,3,0)$ sur la droite $(AB)$ : $\vec{u}=(1,0,0)$ , $H(0,0,0)=A$ . Donc $h = \|\vec{CH}\| = \|(0,-3,0)\| = 3$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule :

\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\,\|\vec{AB}\|\times h

.

$\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\times 4\times 3 = 6$ .

$\mathcal{A} = 6$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer un angle entre deux vecteurs, deux droites ou deux plans ?

Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan ?

Comment calculer une aire ou un volume dans l'espace ?

En calculant l'aire d'un triangle via A=12∥AB⃗∥×h\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\times hA=21​∥AB∥×h ou A=12∥AB⃗∥ ∥AC⃗∥sin⁡θ\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\sin\thetaA=21​∥AB∥∥AC∥sinθ

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant l'aire d'un triangle via $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\times h$ ou $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\sin\theta$