Comment calculer la distance d'un point à une droite ou à un plan ?

En trouvant le projeté orthogonal $H$ du point sur la droite ou le plan, puis en calculant $d = \|\vec{M_0H}\|$

Calculer la distance de $M_0$ à une droite ou à un plan en passant par le projeté orthogonal $H$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Exemple 1 — Distance d'un point à l'axe $Oz$

L'objectif

Calculer la distance de $M_0$ à une droite ou à un plan en passant par le projeté orthogonal $H$ .

Le principe

La distance de $M_0$ à une droite ou un plan est la longueur du segment $[M_0H]$ , où $H$ est le projeté orthogonal de $M_0$ .

La méthode

1
Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $M_0$ sur la droite ou le plan (par paramétrisation puis condition d'orthogonalité, ou par la droite de direction $\vec{n}$ intersectant le plan).
Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?Voir
2
Calculer le vecteur $\vec{M_0H} = H - M_0$ , dont les coordonnées s'obtiennent en soustrayant celles de $M_0$ à celles de $H$ .
3
Calculer la distance $d(M_0, d) = \|\vec{M_0H}\| = \sqrt{(x_H - x_0)^2 + (y_H - y_0)^2 + (z_H - z_0)^2}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Exemple 1 — Distance d'un point à l'axe $Oz$

Étape 1 —

Déterminer le projeté orthogonal

H

de

M_0

sur la droite ou le plan (par paramétrisation puis condition d'orthogonalité, ou par la droite de direction

\vec{n}

intersectant le plan).

La droite est l'axe $Oz$ : $A(0,0,0)$ , $\vec{u}=(0,0,1)$ . Pour $M_0(3,4,5)$ : $H(0,0,5)$ (projeté sur l'axe $z$ ).

Étape 2 —

Calculer le vecteur

\vec{M_0H} = H - M_0

, dont les coordonnées s'obtiennent en soustrayant celles de

M_0

à celles de

H

.

$\vec{M_0H} = (0-3,\;0-4,\;5-5) = (-3,-4,0)$ .

Étape 3 —

Calculer la distance

d(M_0, d) = \|\vec{M_0H}\| = \sqrt{(x_H - x_0)^2 + (y_H - y_0)^2 + (z_H - z_0)^2}

.

$d = \|\vec{M_0H}\| = \sqrt{9+16+0} = \sqrt{25} = 5$ .

$d = 5$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer un angle entre deux vecteurs, deux droites ou deux plans ?

Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan ?

Comment calculer la distance d'un point à une droite ou à un plan ?

En trouvant le projeté orthogonal HHH du point sur la droite ou le plan, puis en calculant d=∥M0H⃗∥d = \|\vec{M_0H}\|d=∥M0​H​∥

Pour comprendre, fais des exercices !

En trouvant le projeté orthogonal $H$ du point sur la droite ou le plan, puis en calculant $d = \|\vec{M_0H}\|$