Pour un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ : en appliquant $d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Calculer la distance de $M_0$ à un plan sans chercher explicitement le projeté orthogonal.

L'objectif

Calculer la distance de $M_0$ à un plan sans chercher explicitement le projeté orthogonal.

Le principe

La formule $d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ découle directement du fait que la distance vaut $|t^*|\cdot\|\vec{n}\|$ avec $t^* = -\dfrac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$ .

La méthode

1
Écrire l'équation du plan sous la forme $ax+by+cz+d=0$ et identifier les coefficients $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .
2
Écrire $d(M_0, \mathcal{P}) = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ , où $(a, b, c)$ est le vecteur normal au plan.
3
Substituer les coordonnées $x_0,y_0,z_0$ de $M_0$ et calculer le numérateur $|ax_0+by_0+cz_0+d|$ .
4
Calculer le dénominateur $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ (norme du vecteur normal), puis conclure $d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exemple 1 — Distance de l'origine au plan $2x-y+2z-3=0$

Étape 1 —

Écrire l'équation du plan sous la forme

ax+by+cz+d=0

et identifier les coefficients

a

b

c

d

$a=2$ , $b=-1$ , $c=2$ , $d=-3$ . Point $M_0(0,0,0)$ .

Étape 2 —

Écrire

d(M_0, \mathcal{P}) = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

, où

(a, b, c)

est le vecteur normal au plan.

Dérivation : $t^* = -\dfrac{2(0)+(-1)(0)+2(0)-3}{4+1+4} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ , et $\|\vec{n}\|=\sqrt{9}=3$ .

Étape 3 —

Substituer les coordonnées

x_0,y_0,z_0

M_0

et calculer le numérateur

|ax_0+by_0+cz_0+d|

Numérateur : $|2\cdot0-1\cdot0+2\cdot0-3| = |-3| = 3$ .

Étape 4 —

Calculer le dénominateur

\sqrt{a^2+b^2+c^2}

(norme du vecteur normal), puis conclure

d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

$d = \dfrac{3}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{3}{\sqrt{9}} = \dfrac{3}{3} = 1$ .

$d = 1$

Application guidée

Exemple 2 — Distance de $M_0(1,0,1)$ au plan $2x-y+2z-3=0$

Application autonome 1

Exemple 3 — Distance de $M_0(2,-1,3)$ au plan $x+2y-2z+1=0$

Application autonome 2

Exemple 4 — Distance de $M_0(1,1,1)$ au plan $x+y+z-6=0$

Application autonome 3

Exemple 5 — Distance de $M_0(0,1,-2)$ au plan $3x+4z-5=0$

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Pour un plan d'équation ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 : en appliquant d=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}d=a2+b2+c2​∣ax0​+by0​+cz0​+d∣​

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Pour un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ : en appliquant $d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$