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Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?

En utilisant u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta à partir des normes et de l'angle

L'objectif

Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} lorsque l'angle θ\theta entre les deux vecteurs et leurs normes sont connus ou facilement calculables.

Le principe

Pour tout couple de vecteurs non nuls, u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta où θ=(u⃗,v⃗^)∈[0;π]\theta = (\widehat{\vec{u},\vec{v}}) \in [0;\pi].

La méthode
  1. 1
    Calculer la norme ∥u⃗∥=x12+y12+z12\|\vec{u}\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} et la norme ∥v⃗∥=x22+y22+z22\|\vec{v}\| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}.
  2. 2
    Identifier l'angle θ∈[0;π]\theta \in [0;\pi] entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} (donné dans l'énoncé ou lu sur une figure géométrique).
  3. 3
    Appliquer la formule : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta et calculer le résultat.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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