Comment étudier les variations et les extrema d'une fonction trigonométrique ?

$f'(x) = \cos x - \sin x$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = \sin x \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$. Sur $[0 ; 2\pi]$ : $x = \dfrac{\pi}{4}$ et $x = \dfrac{5\pi}{4}$.

Sur $\left[0 ; \dfrac{\pi}{4}\right]$ : tester $x = 0$ : $f'(0) = 1 - 0 = 1 > 0$. Sur $\left[\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{5\pi}{4}\right]$ : tester $x = \dfrac{\pi}{2}$ : $f'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 - 1 = -1 < 0$. Sur $\left[\dfrac{5\pi}{4} ; 2\pi\right]$ : tester $x = \dfrac{3\pi}{2}$ : $f'\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 + 1 = 1 > 0$.

Tableau de variations : $f(0) = 1$, $f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$, $f\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$, $f(2\pi) = 1$. $f$ croît sur $\left[0 ; \dfrac{\pi}{4}\right]$, décroît sur $\left[\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{5\pi}{4}\right]$, croît sur $\left[\dfrac{5\pi}{4} ; 2\pi\right]$.

$f$ admet un maximum $\sqrt{2}$ en $x = \dfrac{\pi}{4}$ et un minimum $-\sqrt{2}$ en $x = \dfrac{5\pi}{4}$.