Comment exprimer une variable aléatoire comme somme de variables plus simples ?

En décomposant la situation en $n$ épreuves indépendantes identiques, en posant $X_i = 1$ si succès à l'épreuve $i$ (variable de Bernoulli), puis $X = X_1 + \cdots + X_n$

L'objectif

Exprimer une variable aléatoire $X$ comptant des succès dans $n$ épreuves indépendantes identiques comme une somme $X = X_1 + \cdots + X_n$ de variables de Bernoulli.

Le principe

Si une expérience est répétée $n$ fois de manière indépendante dans des conditions identiques, chaque épreuve produit une variable indicatrice $X_i \in \{0, 1\}$ de Bernoulli de paramètre $p$ , et leur somme $X = \sum_{i=1}^{n} X_i$ compte le nombre total de succès.

La méthode

1
Identifier l'expérience répétée $n$ fois et préciser ce qu'est un « succès » à chaque épreuve.
2
Définir pour chaque épreuve $i \in \{1, \ldots, n\}$ la variable de Bernoulli $X_i$ par : $X_i = 1$ si l'épreuve $i$ est un succès, $X_i = 0$ sinon.
3
Vérifier que les $X_i$ sont indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) de loi $\mathcal{B}(1, p)$ , avec $E(X_i) = p$ et $V(X_i) = p(1-p)$ .
Comment modéliser une situation par un schéma de Bernoulli ?Voir
4
Écrire $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ et conclure que $X$ compte le nombre total de succès.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En décomposant la situation en nnn épreuves indépendantes identiques, en posant Xi=1X_i = 1Xi​=1 si succès à l'épreuve iii (variable de Bernoulli), puis X=X1+⋯+XnX = X_1 + \cdots + X_nX=X1​+⋯+Xn​

Exemple corrigé

En décomposant la situation en $n$ épreuves indépendantes identiques, en posant $X_i = 1$ si succès à l'épreuve $i$ (variable de Bernoulli), puis $X = X_1 + \cdots + X_n$