Comment utiliser les probabilités conditionnelles et la formule des probabilités totales ? | MetMat

Comment utiliser les probabilités conditionnelles et la formule des probabilités totales ?

En partitionnant l'univers en événements $A_1, \ldots, A_k$ et en appliquant $P(B) = \sum_{i} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$

Calculer la probabilité d'un événement $B$ en le décomposant selon un système complet d'événements $(A_i)$ , à l'aide de la formule des probabilités totales.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une maladie $M$ touche $1\,\%$ de la population. Un test donne un résultat positif $T^+$ avec probabilité $0{,}95$ si le patient est malade, et $0{,}02$ s'il est sain. Calculer la probabilité $P(T^+)$ .

L'objectif

Calculer la probabilité d'un événement $B$ en le décomposant selon un système complet d'événements $(A_i)$ , à l'aide de la formule des probabilités totales.

Le principe

Si $(A_1, \ldots, A_k)$ forment une partition de l'univers ( $A_i$ deux à deux disjoints, de réunion $\Omega$ , de probabilité non nulle), alors $P(B) = \sum_{i=1}^{k} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$ .

La méthode

1
Identifier un système complet d'événements $(A_1, \ldots, A_k)$ : des événements deux à deux incompatibles dont la réunion est l'univers, et pour lesquels $P(A_i) > 0$ .
2
Pour chaque $A_i$ , calculer $P(A_i)$ (probabilité de chaque hypothèse).
3
Pour chaque $A_i$ , calculer $P_{A_i}(B)$ (probabilité de $B$ sachant $A_i$ réalisé).
4
Appliquer la formule des probabilités totales : $P(B) = \sum_{i=1}^{k} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Identifier un système complet d'événements

(A_1, \ldots, A_k)

: des événements deux à deux incompatibles dont la réunion est l'univers, et pour lesquels

P(A_i) > 0

Système complet : $M$ (malade, $P(M) = 0{,}01$ ) et $\overline{M}$ (sain, $P(\overline{M}) = 0{,}99$ ).

Étape 2 —

Pour chaque

A_i

, calculer

P(A_i)

(probabilité de chaque hypothèse).

$P(M) = 0{,}01$ et $P(\overline{M}) = 0{,}99$ .

Étape 3 —

Pour chaque

A_i

, calculer

P_{A_i}(B)

(probabilité de

B

sachant

A_i

réalisé).

$P_M(T^+) = 0{,}95$ (sensibilité) ; $P_{\overline{M}}(T^+) = 0{,}02$ (taux de faux positifs).

Étape 4 —

Appliquer la formule des probabilités totales :

P(B) = \sum_{i=1}^{k} P(A_i) \times P_{A_i}(B)

$P(T^+) = 0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}02 = 0{,}0095 + 0{,}0198 = 0{,}0293$ .

$P(T^+) = 0{,}0293$

Application guidée

Une urne $U_1$ contient 3 boules rouges et 2 bleues. Une urne $U_2$ contient 1 rouge et 4 bleues. On choisit une urne au hasard (probabilité $\frac{1}{2}$ chacune), puis on tire une boule. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge ?

Application autonome 1

Une usine possède trois machines $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ produisant respectivement $50\,\%$ , $30\,\%$ et $20\,\%$ de la production totale. Les taux de pièces défectueuses sont $2\,\%$ , $3\,\%$ et $5\,\%$ . On prélève une pièce au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse ?

Application autonome 2

Un sac contient deux dés : un dé équilibré à $6$ faces ( $D_1$ ) et un dé truqué ( $D_2$ ) qui donne $6$ avec probabilité $\dfrac{1}{2}$ . On choisit un dé au hasard (probabilité $\dfrac{1}{2}$ chacun) et on le lance. Calculer la probabilité d'obtenir un $6$ .

Application autonome 3

Un étudiant se rend à l'université en vélo avec probabilité $0{,}6$ ou en bus avec probabilité $0{,}4$ . En vélo, il est en retard avec probabilité $0{,}1$ ; en bus, avec probabilité $0{,}25$ . Calculer la probabilité qu'il soit en retard.

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En partitionnant l'univers en événements A1,…,AkA_1, \ldots, A_kA1​,…,Ak​ et en appliquant P(B)=∑iP(Ai)×PAi(B)P(B) = \sum_{i} P(A_i) \times P_{A_i}(B)P(B)=∑i​P(Ai​)×PAi​​(B)

Pour comprendre, fais des exercices !

En partitionnant l'univers en événements $A_1, \ldots, A_k$ et en appliquant $P(B) = \sum_{i} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$