Comment utiliser les probabilités conditionnelles et la formule des probabilités totales ?

En partitionnant l'univers en événements $A_1, \ldots, A_k$ et en appliquant $P(B) = \sum_{i} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$

L'objectif

Calculer la probabilité d'un événement $B$ en le décomposant selon un système complet d'événements $(A_i)$ , à l'aide de la formule des probabilités totales.

Le principe

Si $(A_1, \ldots, A_k)$ forment une partition de l'univers ( $A_i$ deux à deux disjoints, de réunion $\Omega$ , de probabilité non nulle), alors $P(B) = \sum_{i=1}^{k} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$ .

La méthode

1
J'identifie un système complet d'événements $(A_1, \ldots, A_k)$ : des événements deux à deux incompatibles dont la réunion est l'univers, et pour lesquels $P(A_i) > 0$ .
2
Pour chaque $A_i$ , je calcule $P(A_i)$ (probabilité de chaque hypothèse).
3
Pour chaque $A_i$ , je calcule $P_{A_i}(B)$ (probabilité de $B$ sachant $A_i$ réalisé).
4
J'applique la formule des probabilités totales : $P(B) = \sum_{i=1}^{k} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En partitionnant l'univers en événements A1,…,AkA_1, \ldots, A_kA1​,…,Ak​ et en appliquant P(B)=∑iP(Ai)×PAi(B)P(B) = \sum_{i} P(A_i) \times P_{A_i}(B)P(B)=∑i​P(Ai​)×PAi​​(B)

Exemple corrigé

En partitionnant l'univers en événements $A_1, \ldots, A_k$ et en appliquant $P(B) = \sum_{i} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$