En reconnaissant que les solutions sont $y = Ce^{ax}$ ( $C \in \mathbb{R}$ ), puis en déterminant $C$ à partir de la condition initiale si elle est donnée

Trouver toutes les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ , ou la solution unique vérifiant une condition initiale $y(x_0) = y_0$ .

L'objectif

Trouver toutes les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ , ou la solution unique vérifiant une condition initiale $y(x_0) = y_0$ .

Le principe

Les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont exactement les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$ , où $C \in \mathbb{R}$ est une constante arbitraire.

La méthode

1
Identifier le coefficient $a$ dans l'équation $y' = ay$ .
2
Écrire la solution générale : $y(x) = Ce^{ax}$ , où $C \in \mathbb{R}$ est une constante quelconque.
3
Si une condition initiale $y(x_0) = y_0$ est donnée, substituer : $Ce^{ax_0} = y_0$ , puis résoudre pour trouver $C = y_0 \cdot e^{-ax_0}$ .
Comment déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale ?Voir
4
Écrire la solution particulière en remplaçant la valeur de $C$ trouvée, et vérifier en calculant $y'$ et en vérifiant que $y' = ay$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre l'équation différentielle $y' = 3y$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Identifier le coefficient

a

dans l'équation

y' = ay

On identifie $a = 3$ .

Étape 2 —

Écrire la solution générale :

y(x) = Ce^{ax}

, où

C \in \mathbb{R}

est une constante quelconque.

La solution générale est $y(x) = Ce^{3x}$ , $C \in \mathbb{R}$ .

Étape 3 —

Si une condition initiale

y(x_0) = y_0

est donnée, substituer :

Ce^{ax_0} = y_0

, puis résoudre pour trouver

C = y_0 \cdot e^{-ax_0}

Aucune condition initiale n'est donnée, donc $C$ reste quelconque.

Étape 4 —

Écrire la solution particulière en remplaçant la valeur de

C

trouvée, et vérifier en calculant

y'

et en vérifiant que

y' = ay

Vérification : $y'(x) = 3Ce^{3x} = 3y(x)$ ✓. La solution générale est $y(x) = Ce^{3x}$ .

$y(x) = Ce^{3x}$ , $C \in \mathbb{R}$

Application guidée

Résoudre $y' = -2y$ avec la condition initiale $y(0) = 5$ .

Application autonome 1

Résoudre $y' = \dfrac{1}{2}y$ avec la condition initiale $y(2) = e$ .

Application autonome 2

Une grandeur $Q(t)$ (en grammes) vérifie $Q'(t) = -0{,}1 \, Q(t)$ avec $Q(0) = 200$ . Exprimer $Q(t)$ .

Application autonome 3

Résoudre $2y' = -5y$ avec $y(1) = 3$ .

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