Comment résoudre l'équation différentielle $y' = ay$ ?

En reconnaissant que les solutions sont $y = Ce^{ax}$ ( $C \in \mathbb{R}$ ), puis en déterminant $C$ à partir de la condition initiale si elle est donnée

L'objectif

Trouver toutes les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ , ou la solution unique vérifiant une condition initiale $y(x_0) = y_0$ .

Le principe

Les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont exactement les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$ , où $C \in \mathbb{R}$ est une constante arbitraire.

La méthode

1
Identifier le coefficient $a$ dans l'équation $y' = ay$ .
2
Écrire la solution générale : $y(x) = Ce^{ax}$ , où $C \in \mathbb{R}$ est une constante quelconque.
3
Si une condition initiale $y(x_0) = y_0$ est donnée, substituer : $Ce^{ax_0} = y_0$ , puis résoudre pour trouver $C = y_0 \cdot e^{-ax_0}$ .
Comment déterminer la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale ?Voir
4
Écrire la solution particulière en remplaçant la valeur de $C$ trouvée, et vérifier en calculant $y'$ et en vérifiant que $y' = ay$ .

Difficulté croissante de 1 à 5

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En reconnaissant que les solutions sont y=Ceaxy = Ce^{ax}y=Ceax (C∈RC \in \mathbb{R}C∈R), puis en déterminant CCC à partir de la condition initiale si elle est donnée