Comment calculer une aire ou un volume dans l'espace ?

En calculant l'aire d'un triangle via $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\times h$ ou $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\sin\theta$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Exemple 1 — Triangle rectangle évident

La méthode

1
Choisir une base, par exemple $[AB]$ , et calculer sa longueur $\|\vec{AB}\|$ .
2
Calculer la hauteur $h$ issue de $C$ : trouver le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur la droite $(AB)$ , puis $h = \|\vec{CH}\|$ .
Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?Voir
3
Appliquer la formule : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\,\|\vec{AB}\|\times h$ .
Comment calculer une aire ou un volume dans l'espace ?Voir

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Exemple 1 — Triangle rectangle évident

1

$A(0,0,0)$ , $B(4,0,0)$ , $C(0,3,0)$ . Base $AB$ : $\|\vec{AB}\| = 4$ .

2

Projeté de $C(0,3,0)$ sur la droite $(AB)$ : $\vec{u}=(1,0,0)$ , $H(0,0,0)=A$ . Donc $h = \|\vec{CH}\| = \|(0,-3,0)\| = 3$ .

3

$\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\times 4\times 3 = 6$ .

$\mathcal{A} = 6$

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Pour comprendre, passons aux exercices.

En calculant l'aire d'un triangle via $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\times h$ ou $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\sin\theta$