Comment calculer une aire ou un volume dans l'espace ?

En calculant l'aire d'un triangle via $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\times h$ ou $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\sin\theta$

L'objectif

Calculer l'aire du triangle $ABC$ dans l'espace à partir de ses coordonnées.

Le principe

L'aire d'un triangle est la moitié du produit de la base par la hauteur correspondante ; la hauteur s'obtient comme la distance du sommet à la droite support de la base.

La méthode

1
Choisir une base, par exemple $[AB]$ , et calculer sa longueur $\|\vec{AB}\|$ .
2
Calculer la hauteur $h$ issue de $C$ : trouver le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur la droite $(AB)$ , puis $h = \|\vec{CH}\|$ .
Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?Voir
3
Appliquer la formule : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\,\|\vec{AB}\|\times h$ .
Comment calculer une aire ou un volume dans l'espace ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En calculant l'aire d'un triangle via A=12∥AB⃗∥×h\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\times hA=21​∥AB∥×h ou A=12∥AB⃗∥ ∥AC⃗∥sin⁡θ\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\sin\thetaA=21​∥AB∥∥AC∥sinθ

Exemple corrigé

En calculant l'aire d'un triangle via $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\times h$ ou $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\sin\theta$