Comment lever une forme indéterminée pour calculer une limite ?

Pour une FI $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ : en factorisant et simplifiant, ou en divisant numérateur et dénominateur par le terme dominant

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ .

La méthode

1
Identifier la forme indéterminée : calculer les limites du numérateur et du dénominateur séparément.
2
Pour $\frac{0}{0}$ : factoriser numérateur et dénominateur (chercher la racine commune, utiliser l'identité remarquable ou la factorisation par $(x - a)$ ), puis simplifier le facteur commun.
3
Pour $\frac{\infty}{\infty}$ : diviser numérateur et dénominateur par le terme dominant (plus haut degré pour les polynômes, terme $e^{ax}$ le plus rapide pour les exponentielles).
Comment factoriser par le terme prépondérant pour calculer une limite en $\pm\infty$ ?Voir
4
Calculer la limite de l'expression simplifiée, en vérifiant qu'il n'y a plus de forme indéterminée, et conclure.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ .

1

En $x = 1$ : numérateur $= 0$ et dénominateur $= 0$ : forme indéterminée $\frac{0}{0}$ .

2

On factorise le numérateur : $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . On simplifie le facteur $(x-1)$ (valable pour $x \neq 1$ ) : $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$ .

3

On obtient l'expression simplifiée $x + 1$ , sans forme indéterminée.

4

$\lim_{x \to 1} (x+1) = 2$ .

$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment identifier une asymptote horizontale ou verticale à partir d'une limite ?

Comment lever une forme indéterminée pour calculer une limite ?

Pour une FI 00\frac{0}{0}00​ ou ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞​ : en factorisant et simplifiant, ou en divisant numérateur et dénominateur par le terme dominant

Pour comprendre, passons aux exercices.

Pour une FI $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ : en factorisant et simplifiant, ou en divisant numérateur et dénominateur par le terme dominant