Pour une FI $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ : en factorisant et simplifiant, ou en divisant numérateur et dénominateur par le terme dominant

Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ dans un quotient.

L'objectif

Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ dans un quotient.

Le principe

Pour $\frac{0}{0}$ , on factorise numérateur et dénominateur par un facteur commun pour le simplifier ; pour $\frac{\infty}{\infty}$ , on divise numérateur et dénominateur par le terme de plus haute puissance (terme dominant).

La méthode

1
Identifier la forme indéterminée : calculer les limites du numérateur et du dénominateur séparément.
2
Pour $\frac{0}{0}$ : factoriser numérateur et dénominateur (chercher la racine commune, utiliser l'identité remarquable ou la factorisation par $(x - a)$ ), puis simplifier le facteur commun.
3
Pour $\frac{\infty}{\infty}$ : diviser numérateur et dénominateur par le terme dominant (plus haut degré pour les polynômes, terme $e^{ax}$ le plus rapide pour les exponentielles).
Comment factoriser par le terme prépondérant pour calculer une limite en $\pm\infty$ ?Voir
4
Calculer la limite de l'expression simplifiée, en vérifiant qu'il n'y a plus de forme indéterminée, et conclure.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ .

Étape 1 —

Identifier la forme indéterminée : calculer les limites du numérateur et du dénominateur séparément.

En $x = 1$ : numérateur $= 0$ et dénominateur $= 0$ : forme indéterminée $\frac{0}{0}$ .

Étape 2 —

Pour

\frac{0}{0}

: factoriser numérateur et dénominateur (chercher la racine commune, utiliser l'identité remarquable ou la factorisation par

(x - a)

), puis simplifier le facteur commun.

On factorise le numérateur : $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . On simplifie le facteur $(x-1)$ (valable pour $x \neq 1$ ) : $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$ .

Étape 3 —

Pour

\frac{\infty}{\infty}

: diviser numérateur et dénominateur par le terme dominant (plus haut degré pour les polynômes, terme

e^{ax}

le plus rapide pour les exponentielles).

On obtient l'expression simplifiée $x + 1$ , sans forme indéterminée.

Étape 4 —

Calculer la limite de l'expression simplifiée, en vérifiant qu'il n'y a plus de forme indéterminée, et conclure.

$\lim_{x \to 1} (x+1) = 2$ .

$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$

Application guidée

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 - 1}$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x \to -1} \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x + 1}$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3 - x + 2}{5x^2 + x - 1}$ .

Application autonome 3

Calculer $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ .

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Pour une FI 00\frac{0}{0}00​ ou ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞​ : en factorisant et simplifiant, ou en divisant numérateur et dénominateur par le terme dominant

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Pour une FI $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ : en factorisant et simplifiant, ou en divisant numérateur et dénominateur par le terme dominant