Comment lever une forme indéterminée pour calculer une limite ?

Pour une FI $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ : en factorisant et simplifiant, ou en divisant numérateur et dénominateur par le terme dominant

L'objectif

Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ dans un quotient.

Le principe

Pour $\frac{0}{0}$ , on factorise numérateur et dénominateur par un facteur commun pour le simplifier ; pour $\frac{\infty}{\infty}$ , on divise numérateur et dénominateur par le terme de plus haute puissance (terme dominant).

La méthode

1
Identifier la forme indéterminée : calculer les limites du numérateur et du dénominateur séparément.
2
Pour $\frac{0}{0}$ : factoriser numérateur et dénominateur (chercher la racine commune, utiliser l'identité remarquable ou la factorisation par $(x - a)$ ), puis simplifier le facteur commun.
3
Pour $\frac{\infty}{\infty}$ : diviser numérateur et dénominateur par le terme dominant (plus haut degré pour les polynômes, terme $e^{ax}$ le plus rapide pour les exponentielles).
Comment factoriser par le terme prépondérant pour calculer une limite en $\pm\infty$ ?Voir
4
Calculer la limite de l'expression simplifiée, en vérifiant qu'il n'y a plus de forme indéterminée, et conclure.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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Pour une FI 00\frac{0}{0}00​ ou ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞​ : en factorisant et simplifiant, ou en divisant numérateur et dénominateur par le terme dominant

Exemple corrigé

Pour une FI $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ : en factorisant et simplifiant, ou en divisant numérateur et dénominateur par le terme dominant