Pour une FI $\infty - \infty$ : en factorisant par le terme prépondérant ou en mettant au même dénominateur

Lever une forme indéterminée $\infty - \infty$ par transformation algébrique.

L'objectif

Lever une forme indéterminée $\infty - \infty$ par transformation algébrique.

Le principe

Il n'existe pas de règle directe pour $\infty - \infty$ ; on doit transformer l'expression en la factorisant par le terme dominant (pour les polynômes/exponentielles) ou en la conjuguant / mettant au même dénominateur (pour les expressions avec racines ou fractions).

La méthode

1
Reconnaître la forme indéterminée $\infty - \infty$ : deux termes qui tendent tous deux vers $+\infty$ ou $-\infty$ .
2
Choisir la transformation adaptée : si les termes sont des polynômes ou expressions avec $e^x$ , factoriser par le terme dominant ; si l'un des termes est une racine carrée, multiplier et diviser par l'expression conjuguée ; si ce sont des fractions, mettre au même dénominateur.
Comment factoriser par le terme prépondérant pour calculer une limite en $\pm\infty$ ?Voir
3
Effectuer la transformation algébrique pour obtenir une expression sans FI.
4
Calculer la limite de l'expression transformée et conclure.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$ .

Étape 1 —

Reconnaître la forme indéterminée

\infty - \infty

: deux termes qui tendent tous deux vers

+\infty

-\infty

$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+1} = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ : forme indéterminée $\infty - \infty$ .

Étape 2 —

Choisir la transformation adaptée : si les termes sont des polynômes ou expressions avec

e^x

, factoriser par le terme dominant ; si l'un des termes est une racine carrée, multiplier et diviser par l'expression conjuguée ; si ce sont des fractions, mettre au même dénominateur.

On multiplie et on divise par l'expression conjuguée $\sqrt{x+1} + \sqrt{x}$ :

$\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \dfrac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}.$

Étape 3 —

Effectuer la transformation algébrique pour obtenir une expression sans FI.

Le numérateur vaut $(x+1) - x = 1$ , donc $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$ .

Étape 4 —

Calculer la limite de l'expression transformée et conclure.

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \dfrac{1}{+\infty} = 0$ .

$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) = 0$

Application guidée

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - e^x)$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right)$ .

Application autonome 3

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 - x}\right)$ .

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Pour une FI ∞−∞\infty - \infty∞−∞ : en factorisant par le terme prépondérant ou en mettant au même dénominateur

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