En vérifiant que leurs coordonnées sont proportionnelles ( $\vec{v} = \lambda\vec{u}$ pour un certain $\lambda \in \mathbb{R}$ )

Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires en cherchant un coefficient de proportionnalité entre leurs coordonnées.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Vérifier si $\vec{u} = (2, -4)$ et $\vec{v} = (-3, 6)$ sont colinéaires.

L'objectif

Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires en cherchant un coefficient de proportionnalité entre leurs coordonnées.

Le principe

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\vec{v} = \lambda\vec{u}$ (ou $\vec{u} = \vec{0}$ ).

La méthode

1
Je calcule les coordonnées des deux vecteurs (ou je les lis directement si elles sont données).
2
Je cherche $\lambda$ à partir d'une coordonnée non nulle de $\vec{u}$ : $\lambda = \frac{v_i}{u_i}$ .
3
Je vérifie que ce même $\lambda$ convient pour toutes les autres coordonnées.
4
Je conclus : si $\lambda$ est le même pour toutes les coordonnées, les vecteurs sont colinéaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Vérifier si $\vec{u} = (2, -4)$ et $\vec{v} = (-3, 6)$ sont colinéaires.

Étape 1 —

Je calcule les coordonnées des deux vecteurs (ou je les lis directement si elles sont données).

Les coordonnées sont $\vec{u} = (2, -4)$ et $\vec{v} = (-3, 6)$ .

Étape 2 —

Je cherche

\lambda

à partir d'une coordonnée non nulle de

\vec{u}

\lambda = \frac{v_i}{u_i}

À partir de la première coordonnée : $\lambda = \frac{-3}{2}$ .

Étape 3 —

Je vérifie que ce même

\lambda

convient pour toutes les autres coordonnées.

Je vérifie la deuxième : $\lambda \times (-4) = \frac{-3}{2} \times (-4) = 6$ ✓.

Étape 4 —

Je conclus : si

\lambda

est le même pour toutes les coordonnées, les vecteurs sont colinéaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Le coefficient est le même pour toutes les coordonnées : $\vec{v} = -\frac{3}{2}\vec{u}$ , donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires : $\vec{v} = -\dfrac{3}{2}\vec{u}$ .

Application guidée

Vérifier si $\vec{u} = (1, 2)$ et $\vec{v} = (3, 5)$ sont colinéaires.

Application autonome 1

Dans l'espace, vérifier si $\vec{u} = (2, -1, 4)$ et $\vec{v} = (6, -3, 12)$ sont colinéaires.

Application autonome 2

Dans l'espace, vérifier si $\vec{u} = (1, 0, 2)$ et $\vec{v} = (2, 1, 4)$ sont colinéaires.

Application autonome 3

Vérifier si $\vec{u} = (-3, 2, 5)$ et $\vec{v} = (6, -4, -10)$ sont colinéaires.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant que leurs coordonnées sont proportionnelles (v⃗=λu⃗\vec{v} = \lambda\vec{u}v=λu pour un certain λ∈R\lambda \in \mathbb{R}λ∈R)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que leurs coordonnées sont proportionnelles ( $\vec{v} = \lambda\vec{u}$ pour un certain $\lambda \in \mathbb{R}$ )