Comment utiliser les croissances comparées pour calculer une limite ?

En appliquant la hiérarchie $\ln x \ll x^n \ll e^x$ en $+\infty$ : $\dfrac{x^n}{e^x} \to 0$ , $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ , et $x^n \ln x \to 0$ en $0^+$

L'objectif

Calculer une limite faisant intervenir des puissances, l'exponentielle ou le logarithme, en exploitant la hiérarchie des croissances.

Le principe

En $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^n}{e^x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0$ pour tout entier $n \geq 1$ ; en $0^+$ : $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ pour tout $n > 0$ .

La méthode

1
Identifier les fonctions en présence (puissances, $e^x$ , $\ln x$ ) et la direction de la limite ( $+\infty$ , $-\infty$ ou $0^+$ ).
2
Reconnaître le résultat de croissances comparées applicable : si $e^x$ est présent au dénominateur (ou $e^{-x}$ au numérateur), $\dfrac{x^n}{e^x} \to 0$ ; si $\ln x$ est au numérateur, $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ .
3
Si nécessaire, factoriser ou mettre sous forme de quotient pour faire apparaître directement l'une de ces formes canoniques.
4
Appliquer le résultat et calculer la limite globale par les règles d'opérations.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En appliquant la hiérarchie ln⁡x≪xn≪ex\ln x \ll x^n \ll e^xlnx≪xn≪ex en +∞+\infty+∞ : xnex→0\dfrac{x^n}{e^x} \to 0exxn​→0, ln⁡xxn→0\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0xnlnx​→0, et xnln⁡x→0x^n \ln x \to 0xnlnx→0 en 0+0^+0+

Exemple corrigé

En appliquant la hiérarchie $\ln x \ll x^n \ll e^x$ en $+\infty$ : $\dfrac{x^n}{e^x} \to 0$ , $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ , et $x^n \ln x \to 0$ en $0^+$