En appliquant la hiérarchie $\ln x \ll x^n \ll e^x$ en $+\infty$ : $\dfrac{x^n}{e^x} \to 0$ , $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ , et $x^n \ln x \to 0$ en $0^+$

Calculer une limite faisant intervenir des puissances, l'exponentielle ou le logarithme, en exploitant la hiérarchie des croissances.

L'objectif

Calculer une limite faisant intervenir des puissances, l'exponentielle ou le logarithme, en exploitant la hiérarchie des croissances.

Le principe

En $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^n}{e^x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0$ pour tout entier $n \geq 1$ ; en $0^+$ : $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ pour tout $n > 0$ .

La méthode

1
Identifier les fonctions en présence (puissances, $e^x$ , $\ln x$ ) et la direction de la limite ( $+\infty$ , $-\infty$ ou $0^+$ ).
2
Reconnaître le résultat de croissances comparées applicable : si $e^x$ est présent au dénominateur (ou $e^{-x}$ au numérateur), $\dfrac{x^n}{e^x} \to 0$ ; si $\ln x$ est au numérateur, $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ .
3
Si nécessaire, factoriser ou mettre sous forme de quotient pour faire apparaître directement l'une de ces formes canoniques.
4
Appliquer le résultat et calculer la limite globale par les règles d'opérations.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to +\infty} x^3 e^{-x}$ .

Étape 1 —

Identifier les fonctions en présence (puissances,

e^x

\ln x

) et la direction de la limite (

+\infty

-\infty

0^+

Fonctions présentes : $x^3$ (puissance) et $e^{-x}$ .

Étape 2 —

Reconnaître le résultat de croissances comparées applicable : si

e^x

est présent au dénominateur (ou

e^{-x}

au numérateur),

\dfrac{x^n}{e^x} \to 0

; si

\ln x

est au numérateur,

\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0

$x^3 e^{-x} = \dfrac{x^3}{e^x}$ , qui est de la forme canonique $\dfrac{x^n}{e^x}$ avec $n = 3$ .

Étape 3 —

Si nécessaire, factoriser ou mettre sous forme de quotient pour faire apparaître directement l'une de ces formes canoniques.

On applique directement le résultat de croissances comparées.

Étape 4 —

Appliquer le résultat et calculer la limite globale par les règles d'opérations.

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3}{e^x} = 0$ .

$\lim_{x \to +\infty} x^3 e^{-x} = 0$

Application guidée

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x \to +\infty} x e^{-x}$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (x^2 + \ln x) e^{-x}$ .

Application autonome 3

Calculer $\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x$ .

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En appliquant la hiérarchie ln⁡x≪xn≪ex\ln x \ll x^n \ll e^xlnx≪xn≪ex en +∞+\infty+∞ : xnex→0\dfrac{x^n}{e^x} \to 0exxn​→0, ln⁡xxn→0\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0xnlnx​→0, et xnln⁡x→0x^n \ln x \to 0xnlnx→0 en 0+0^+0+

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant la hiérarchie $\ln x \ll x^n \ll e^x$ en $+\infty$ : $\dfrac{x^n}{e^x} \to 0$ , $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ , et $x^n \ln x \to 0$ en $0^+$