En appliquant la hiérarchie $\ln x \ll x^n \ll e^x$ en $+\infty$ : $\dfrac{x^n}{e^x} \to 0$ , $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ , et $x^n \ln x \to 0$ en $0^+$

Calculer une limite faisant intervenir des puissances, l'exponentielle ou le logarithme, en exploitant la hiérarchie des croissances.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x \to +\infty} x^3 e^{-x}$ .

L'objectif

Calculer une limite faisant intervenir des puissances, l'exponentielle ou le logarithme, en exploitant la hiérarchie des croissances.

Le principe

En $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^n}{e^x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0$ pour tout entier $n \geq 1$ ; en $0^+$ : $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ pour tout $n > 0$ .

La méthode

1
Identifier les fonctions en présence (puissances, $e^x$ , $\ln x$ ) et la direction de la limite ( $+\infty$ , $-\infty$ ou $0^+$ ).
2
Reconnaître le résultat de croissances comparées applicable : si $e^x$ est présent au dénominateur (ou $e^{-x}$ au numérateur), $\dfrac{x^n}{e^x} \to 0$ ; si $\ln x$ est au numérateur, $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ .
3
Si nécessaire, factoriser ou mettre sous forme de quotient pour faire apparaître directement l'une de ces formes canoniques.
4
Appliquer le résultat et calculer la limite globale par les règles d'opérations.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to +\infty} x^3 e^{-x}$ .

Étape 1 —

Identifier les fonctions en présence (puissances,

e^x

\ln x

) et la direction de la limite (

+\infty

-\infty

0^+

Fonctions présentes : $x^3$ (puissance) et $e^{-x}$ .

Étape 2 —

Reconnaître le résultat de croissances comparées applicable : si

e^x

est présent au dénominateur (ou

e^{-x}

au numérateur),

\dfrac{x^n}{e^x} \to 0

; si

\ln x

est au numérateur,

\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0

$x^3 e^{-x} = \dfrac{x^3}{e^x}$ , qui est de la forme canonique $\dfrac{x^n}{e^x}$ avec $n = 3$ .

Étape 3 —

Si nécessaire, factoriser ou mettre sous forme de quotient pour faire apparaître directement l'une de ces formes canoniques.

On applique directement le résultat de croissances comparées.

Étape 4 —

Appliquer le résultat et calculer la limite globale par les règles d'opérations.

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3}{e^x} = 0$ .

$\lim_{x \to +\infty} x^3 e^{-x} = 0$

Application guidée

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x \to +\infty} x e^{-x}$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (x^2 + \ln x) e^{-x}$ .

Application autonome 3

Calculer $\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant la hiérarchie ln⁡x≪xn≪ex\ln x \ll x^n \ll e^xlnx≪xn≪ex en +∞+\infty+∞ : xnex→0\dfrac{x^n}{e^x} \to 0exxn​→0, ln⁡xxn→0\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0xnlnx​→0, et xnln⁡x→0x^n \ln x \to 0xnlnx→0 en 0+0^+0+

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant la hiérarchie $\ln x \ll x^n \ll e^x$ en $+\infty$ : $\dfrac{x^n}{e^x} \to 0$ , $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ , et $x^n \ln x \to 0$ en $0^+$