Comment résoudre une équation ou inéquation faisant intervenir $\ln$ ou $\exp$ ? | MetMat

Comment résoudre une équation ou inéquation faisant intervenir $\ln$ ou $\exp$ ?

En posant un changement de variable $X = e^x$ ou $X = \ln x$ pour se ramener à une équation algébrique

Transformer une équation exponentielle (ou logarithmique) à deux termes en une équation algébrique du second degré.

L'objectif

Transformer une équation exponentielle (ou logarithmique) à deux termes en une équation algébrique du second degré.

Le principe

Si une équation fait apparaître $e^x$ et $e^{2x}$ (ou $\ln x$ et $(\ln x)^2$ ), le changement de variable $X = e^x$ (ou $X = \ln x$ ) la ramène à une équation algébrique en $X$ .

La méthode

1
Repérer la structure de l'équation : identifier les puissances de $e^x$ ou de $\ln x$ en jeu.
2
Poser le changement de variable $X = e^x$ (si équation en $e^x$ , $e^{2x}$ , etc.) ou $X = \ln x$ (si équation en $\ln x$ , $(\ln x)^2$ , etc.).
3
Réécrire l'équation en termes de $X$ et résoudre l'équation algébrique obtenue (souvent du second degré).
4
Revenir à $x$ : résoudre $e^x = X_0$ (donne $x = \ln X_0$ si $X_0 > 0$ ) ou $\ln x = X_0$ (donne $x = e^{X_0}$ ). Vérifier les conditions d'existence et donner $\mathcal{S}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ .

Étape 1 —

Repérer la structure de l'équation : identifier les puissances de

e^x

ou de

\ln x

en jeu.

L'équation fait apparaître $e^x$ et $e^{2x} = (e^x)^2$ .

Étape 2 —

Poser le changement de variable

X = e^x

(si équation en

e^x

e^{2x}

, etc.) ou

X = \ln x

(si équation en

\ln x

(\ln x)^2

, etc.).

On pose $X = e^x$ (avec $X > 0$ car $e^x > 0$ pour tout $x$ ). L'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$ .

Étape 3 —

Réécrire l'équation en termes de

X

et résoudre l'équation algébrique obtenue (souvent du second degré).

On résout $X^2 - 3X + 2 = 0$ : $\Delta = 9 - 8 = 1$ , donc $X = \dfrac{3 \pm 1}{2}$ , soit $X_1 = 2$ ou $X_2 = 1$ .

Étape 4 —

Revenir à

x

: résoudre

e^x = X_0

(donne

x = \ln X_0

X_0 > 0

) ou

\ln x = X_0

(donne

x = e^{X_0}

). Vérifier les conditions d'existence et donner

\mathcal{S}

On revient à $x$ : $e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2$ ; $e^x = 1 \Rightarrow x = \ln 1 = 0$ . Les deux valeurs $X_1 = 2 > 0$ et $X_2 = 1 > 0$ sont valides. $\mathcal{S} = \{0\,;\,\ln 2\}$ .

$\mathcal{S} = \{0\,;\,\ln 2\}$

Application guidée

Résoudre $2(\ln x)^2 - 5\ln x + 2 = 0$ pour $x > 0$ .

Application autonome 1

Résoudre $(\ln x)^2 - \ln x - 2 = 0$ pour $x > 0$ .

Application autonome 2

Résoudre $e^{2x} + e^x - 6 = 0$ .

Application autonome 3

Résoudre $e^{2x} - 5e^x + 4 = 0$ .

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En posant un changement de variable X=exX = e^xX=ex ou X=ln⁡xX = \ln xX=lnx pour se ramener à une équation algébrique

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En posant un changement de variable $X = e^x$ ou $X = \ln x$ pour se ramener à une équation algébrique