Comment résoudre une équation ou inéquation faisant intervenir $\ln$ ou $\exp$ ?

En utilisant la bijectivité : $\ln x = \ln y \Leftrightarrow x = y$ et $e^x = e^y \Leftrightarrow x = y$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $\ln x = 2$ .

La méthode

1
Mettre l'équation sous la forme $\ln(A) = \ln(B)$ ou $e^A = e^B$ (un seul $\ln$ ou $\exp$ de chaque côté).
2
Vérifier les conditions d'existence : pour $\ln$ , on doit avoir $A > 0$ et $B > 0$ .
3
Appliquer la bijectivité pour se ramener à $A = B$ (ou $A < B$ , $A > B$ pour les inéquations), puis résoudre l'équation algébrique obtenue.
4
Vérifier que les solutions trouvées respectent les conditions d'existence et donner l'ensemble solution.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Résoudre $\ln x = 2$ .

1

On écrit $2 = \ln(e^2)$ , donc l'équation devient $\ln x = \ln(e^2)$ .

2

Condition d'existence : $x > 0$ (vérification reportée après résolution).

3

Par bijectivité de $\ln$ : $x = e^2$ .

4

$x = e^2 > 0$ : la condition est vérifiée. $\mathcal{S} = \{e^2\}$ .

$\mathcal{S} = \{e^2\}$

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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