En utilisant la relation de Pascal $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$

Exprimer ou calculer $\binom{n}{k}$ à partir de coefficients binomiaux d'ordre $n-1$ , déjà connus.

L'objectif

Exprimer ou calculer $\binom{n}{k}$ à partir de coefficients binomiaux d'ordre $n-1$ , déjà connus.

Le principe

Choisir un élément particulier : soit il est dans la sélection ( $\binom{n-1}{k-1}$ façons), soit il n'y est pas ( $\binom{n-1}{k}$ façons).

La méthode

1
Identifier si des coefficients $\binom{n-1}{k-1}$ et $\binom{n-1}{k}$ sont déjà connus ou plus simples à calculer.
Comment utiliser la relation de Pascal et le triangle de Pascal ?Voir
2
Écrire $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ et calculer chacun des deux termes séparément.
Comment utiliser la relation de Pascal et le triangle de Pascal ?Voir
3
Additionner les deux résultats pour obtenir $\binom{n}{k}$ .
Comment utiliser la relation de Pascal et le triangle de Pascal ?Voir

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Exercice d'exemple

Calculer $\binom{5}{2}$ en utilisant la relation de Pascal à partir de $\binom{4}{1}$ et $\binom{4}{2}$ .

Étape 1 —

Identifier si des coefficients

\binom{n-1}{k-1}

\binom{n-1}{k}

sont déjà connus ou plus simples à calculer.

$\binom{4}{1} = 4$ et $\binom{4}{2} = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6$ sont connus.

Étape 2 —

Écrire

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

et calculer chacun des deux termes séparément.

$\binom{5}{2} = \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6$ .

Étape 3 —

Additionner les deux résultats pour obtenir

\binom{n}{k}

$4 + 6 = 10$ .

$\binom{5}{2} = 10$

Application guidée

Calculer $\binom{6}{3}$ en utilisant la relation de Pascal.

Application autonome 1

Calculer $\binom{7}{4}$ en utilisant la relation de Pascal à partir de coefficients de la ligne 6.

Application autonome 2

Calculer $\dbinom{9}{3}$ en utilisant la relation de Pascal à partir de $\dbinom{8}{2}$ et $\dbinom{8}{3}$ .

Application autonome 3

Calculer $\dbinom{10}{4}$ en utilisant la relation de Pascal à partir de coefficients de la ligne $9$ .

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